[论文解读] Geometric mean extension for data sets with zeros

Roberto de la Cruz, Jan‐Ulrich Kreft|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2018

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 14被引用 19

一句话总结

本文提出了一种依赖数据的几何平均扩展方法，可在处理零值时满足两个关键条件：恢复性（在无零值数据上恢复为标准几何平均）和单调性（添加零值时不会增加）。该方法通过从标准几何平均的相对偏差中推导出的扰动参数 δ 实现鲁棒性和跨含零数据集的一致性。

ABSTRACT

There are numerous examples in different research fields where the use of the geometric mean is more appropriate than the arithmetic mean. However, the geometric mean has a serious limitation in comparison with the arithmetic mean. Means are used to summarize the information in a large set of values in a single number; yet, the geometric mean of a data set with at least one zero is always zero. As a result, the geometric mean does not capture any information about the non-zero values. The purpose of this short contribution is to review solutions proposed in the literature that enable the computation of the geometric mean of data sets containing zeros and to show that they do not fulfil the `recovery' or `monotonicity' conditions that we define. The standard geometric mean should be recovered from the modified geometric mean if the data set does not contain any zeros (recovery condition). Also, if the values of an ordered data set are greater one by one than the values of another data set then the modified geometric mean of the first data set must be greater than the modified geometric mean of the second data set (monotonicity condition). We then formulate a modified version of the geometric mean that can handle zeros while satisfying both desired conditions.

研究动机与目标

• 解决标准几何平均的局限性，即当任一数据点为零时，其值变为零，从而丢失非零值的信息。
• 评估现有方法在含零数据集中计算几何平均的表现，特别是其在恢复性和单调性条件上的失败。
• 开发一种改进的几何平均方法，使其在无零数据集中保持标准几何平均（恢复性），且在添加零值时不会增加（单调性）。
• 提供一种实用、数据自适应的方法，用于在含零数据集中计算几何平均和标准差，适用于跨数据集比较。

提出的方法

• 定义依赖于数据集 $ X $ 的修正几何平均 $ G_{\rho,X} $，利用扰动参数 $ \delta $ 调整零值的影响。
• 使用二分法计算 $ \delta $，使得标准几何平均 $ G(X_+) $ 与修正平均 $ G_{\epsilon,X}(X) $ 之间的相对差异不超过 $ \epsilon $，以确保恢复性条件。
• 将修正几何平均表述为 $ G_{\epsilon,X}(X) = \left( \prod_{i=1}^n (x_i + \delta)^{1/n} \right) $，其中 $ \delta $ 的选择需满足恢复性条件。
• 通过构造 $ \delta $ 确保修正平均仅在所有数据值增加时上升，且在添加零值时从不增加，从而保证单调性。
• 提出一种统一的比较程序，使用各数据集中的最小 $ \delta $ 来标准化扰动参数，实现一致比较。
• 通过使用扰动值和修正几何平均定义 $ \sigma_{gsd}^{\epsilon,X} $，将方法扩展至几何标准差，但需注意其可能存在过度膨胀的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种修正的几何平均，使其在无零值时恢复为标准几何平均？
• RQ2 当向数据集中添加零值时，修正几何平均是否保持非递增？
• RQ3 能否开发一种一致且数据自适应的方法，在含零数据集中计算几何平均，同时保持统计完整性？
• RQ4 是否可能将修正几何平均扩展至几何标准差，而不会引入过度变异性？

主要发现

• 所提方法同时满足恢复性和单调性条件，而先前方法如 Habib 的方法或 +1 平移法则不满足。
• 修正几何平均 $ G_{\epsilon,X} $ 关于 $ \delta $ 严格递增，确保与数据排序一致且具有单调行为。
• 对于包含 983 个正数和 17 个零的数据集，当引入更多零值时，修正几何平均保持稳定且非递增，而 Habib 的方法则先上升后下降。
• 当添加零值时，修正几何标准差可能变得过大，表明当前公式存在局限性。
• 通过使用各数据集中最小 $ \delta $ 来标准化扰动参数，该方法实现了可靠的跨数据集比较。
• 作者在 GitHub 上提供了 MATLAB 和 Python 的开源实现，以支持可重现性和实际应用。