[论文解读] Geometric Spinors, Generalized Dirac Equation and Mirror Particles

Matej Pavšič|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文提出，克利福德代数 $Cl(1,3)$ 中的几何旋量通过广义狄拉克方程，为描述普通费米子与镜像费米子提供了一个统一的框架。通过分析克利福德数在 $\Phi \to \mathrm{R}\Phi\mathrm{S}$ 变换下的行为，表明来自不同极小左理想的旋量对应于不同类型的粒子，广义狄拉克方程（狄拉克-凯勒方程）自然地同时包含普通费米子与镜像费米子，为宇称不守恒及暗物质候选者提供了代数解释。

ABSTRACT

It is shown that since the geometric spinors are elements of Clifford algebras, they must have the same transformation properties as any other Clifford number. In general, a Clifford number $Φ$ transforms into a new Clifford number $Φ'$ according to $Φ o Φ' = { m{R}}\,Φ\,{ m{S}}$, i.e., by the multiplication from the left and from the right by two Clifford numbers ${ m R}$ and ${ m S}$. We study the case of $Cl(1,3)$, which is the Clifford algebra of the Minkowski spacetime. Depending on choice of ${ m R}$ and ${ m S}$, there are various possibilities, including the transformations of vectors into 3-vectors, and the transformations of the spinors of one minimal left ideal of $Cl(1,3)$ into another minimal left ideal. This, among others, has implications for understanding the observed non-conservation of parity.

研究动机与目标

• 使用克利福德代数 $Cl(1,3)$ 在单一代数框架内统一描述普通费米子与镜像费米子。
• 通过不同极小左理想中旋量的变换，解释弱相互作用中宇称不守恒的机制。
• 表明广义狄拉克方程（狄拉克-凯勒方程）自然地将普通费米子与镜像费米子作为单一克利福德值场的分量进行描述。
• 将作用于不同理想上的 $SU(2)$ 规范对称性解释为普通费米子与镜像费米子的弱相互作用。
• 利用几何旋量为镜像费米子作为暗物质候选者提供代数基础。

提出的方法

• 将旋量表示为克利福德代数 $Cl(1,3)$ 的元素，使用幂零生成元和魏特定基 $\theta_a, \bar{\theta}_a$ 构造四分量旋量。
• 应用变换 $\Phi \to \mathrm{R}\Phi\mathrm{S}$，其中 $\mathrm{R}, \mathrm{S} \in Cl(1,3)$，研究不同极小左理想中旋量之间的变换行为。
• 推导克利福德代数值场 $\Phi = \psi^{\tilde{A}}\xi_{\tilde{A}}$ 的广义狄拉克方程 $(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Phi = 0$，其中 $\tilde{A} = (\alpha, i)$ 标记四个极小左理想中的分量。
• 将 $16 \times 16$ 矩阵表示分解为 $4 \times 4$ 狄拉克矩阵，并利用度量 $z_{ij}$ 将作用分离为普通费米子与镜像费米子两个部分。
• 构造规范协变作用 $I = \int d^4x\, \bar{\psi}^i (i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi^j z_{ij}$，其中 $D_\mu = \partial_\mu + G_\mu{}^i{}_j \psi^j$ 引入广义规范场。
• 将 $\psi^{\alpha i}$ 的第一列与第二列识别为普通费米子，第三列与第四列识别为镜像费米子，且 $SU(2)$ 规范对称性分别独立作用于每对列。

实验结果

研究问题

• RQ1 克利福德代数 $Cl(1,3)$ 中的几何旋量在一般克利福德代数运算下如何变换？这些变换对粒子态意味着什么？
• RQ2 广义狄拉克方程在 $Cl(1,3)$ 中是否能自然地将普通费米子与镜像费米子作为单一场的分量进行描述？
• RQ3 克利福德代数的代数结构如何解释弱相互作用中宇称不守恒的现象？
• RQ4 克利福德代数 $Cl(1,3)$ 的四个极小左理想在区分普通费米子与镜像费米子中起什么作用？
• RQ5 能否构建一个统一的规范场论，通过在不同理想上作用的 $SU(2)$ 对称性，同时包含普通与镜像弱相互作用？

主要发现

• 变换 $\Phi \to \mathrm{R}\Phi\mathrm{S}$，其中 $\mathrm{R} = \exp(\frac{1}{2}\alpha\gamma_1\gamma_2)$，$\mathrm{S} = \exp(\frac{1}{2}\beta\gamma_1\gamma_2)$，混合了不同阶数，并将旋量从一个极小左理想映射到另一个，从而实现普通态与镜像态之间的跃迁。
• 位于第一和第二极小左理想的旋量对应于普通费米子，而位于第三和第四理想的旋量对应于镜像费米子，如矩阵 $\psi^{\alpha i}$ 所示。
• 广义狄拉克方程 $(i\gamma^\mu \partial_\mu - m)\Phi = 0$ 导出一个 $16 \times 16$ 矩阵方程，可分解为四个独立的 $4 \times 4$ 狄拉克方程，每个方程描述一个不同理想中的旋量。
• 作用 $I = \int d^4x\, \bar{\psi}^i (i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi^j z_{ij}$ 中的度量 $z_{ij}$ 具有符号型 $(+, +, -, -)$，从而区分普通费米子与镜像费米子的子系统。
• 规范场 $G_\mu{}^i{}_j$ 包含两组类似 $SU(2)$ 的群：一组作用于第一和第二理想（普通弱相互作用），另一组作用于第三和第四理想（镜像弱相互作用），二者通过空间反演相互关联。
• 该模型为镜像费米子作为暗物质候选者提供了代数解释，当 $G\mu{}^i{}_j$ 适当地变换时，整个作用量在空间反演下保持对称性。