[论文解读] Geometrical and analytical characteristic properties of piecewise affine mappings

Valentin V. Gorokhovik|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2011

Optimization and Variational Analysis参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文建立了有限维赋范空间之间分段仿射映射的几何与解析刻画。证明了映射为分段仿射当且仅当其关于任意多面体序的上图与下图均为 $ X \times Y $ 中凸多面集的有限并集，并表明此类映射构成包含所有仿射映射的最小向量子格，且可通过仿射分量以极小-极大形式表示。

ABSTRACT

Let X and Y be finite dimensional normed spaces, F(X,Y) a collection of all mappings from X into Y. A mapping $P\in F(X,Y)$ is said to be piecewise affine if there exists a finite family of convex polyhedral subsets covering X and such that the restriction of $P$ on each subset of this family is an affine mapping. In the paper we prove a number of characterizations of piecewise affine mappings. In particular we show that a mapping $P: X o Y$ is piecewise affine if and only if for any partial order $\preceq$ defined on Y by a polyhedral convex cone both the $\preceq$-epigraph and the $\preceq$-hypograph of P can be represented as the union of finitely many convex polyhedral subsets of $X imes Y$. When the space Y is ordered by a minihedral cone or equivalently when Y is a vector lattice the collection F(X,Y) endowed with standard pointwise algebraic operations and the pointwise ordering is a vector lattice too. In the paper we show that the collection of piecewise affine mappings coincides with the smallest vector sublattice of F(X,Y) containing all affine mappings. Moreover we prove that each convex (with respect to an ordering of Y by a minihedral cone) piecewise affine mapping is the least upper bound of finitely many affine mappings. The collection of all convex piecewise affine mappings is a convex cone in F(X,Y) the linear envelope of which coincides with the vector subspace of all piecewise affine mappings.

研究动机与目标

• 通过其上图与下图的几何性质对分段仿射映射进行刻画。
• 证明分段仿射映射的集合是包含所有仿射映射的最小向量子格。
• 提供凸分段仿射映射作为有限多个仿射映射上确界的解析表示。
• 证明在局部凸拓扑下，分段仿射映射在连续映射空间中是稠密的。
• 将结果推广至分段线性映射，并通过格运算表示其形式。

提出的方法

• 将分段仿射映射定义为在有限多个覆盖定义域空间的凸多面集上为仿射的映射。
• 利用有限个闭半空间的交与并表示多面集，刻画定义域的结构。
• 在陪域上引入由多面体凸锥诱导的偏序，并分析此类序下映射的上图与下图。
• 证明映射为分段仿射当且仅当其在任意 $ \preceq $ 序下的 $ \preceq $-上图与 $ \preceq $-下图均为 $ X \times Y $ 中凸多面集的有限并集。
• 证明当 $ Y $ 为向量格（由极小化锥有序）时，分段仿射映射的集合与包含所有仿射映射的最小向量子格一致。
• 推导极小-极大表示：$ P(x) = \inf_i \sup_j A_{ij}(x) $ 与 $ P(x) = \sup_j \inf_i A_{ij}(x) $，其中 $ A_{ij} $ 为仿射映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 映射 $ P: X \to Y $ 在何种条件下，其关于 $ Y $ 上多面体序的上图与下图构成分段仿射？
• RQ2 分段仿射映射在所有从 $ X $ 到 $ Y $ 的映射的格中如何代数刻画？
• RQ3 凸分段仿射映射与有限多个仿射映射的上确界之间有何关系？
• RQ4 每个连续映射是否都能在紧集上被分段仿射映射一致逼近？
• RQ5 分段线性映射在格运算与线性分量下的等价刻画是什么？

主要发现

• 映射 $ P: X \to Y $ 为分段仿射当且仅当，对任意由 $ Y $ 中多面体凸锥诱导的偏序 $ \preceq $，其 $ \preceq $-上图与 $ \preceq $-下图均为 $ X \times Y $ 中凸多面集的有限并集。
• 当 $ Y $ 为向量格（由极小化锥有序）时，分段仿射映射的集合是 $ \mathcal{F}(X,Y) $ 中包含所有仿射映射的最小向量子格。
• 每个凸分段仿射映射 $ P: X \to Y $ 均可表示为有限多个仿射映射的最小上界（上确界）。
• 所有凸分段仿射映射的集合构成一个凸锥，其线性张集即为整个分段仿射映射的向量空间。
• 对任意连续映射 $ F: X \to Y $ 及紧子集 $ Q \subset X $，存在分段仿射映射 $ P $，使得对所有 $ x \in Q $，有 $ \|F(x) - P(x)\|_Y < \epsilon $，从而证明在局部凸拓扑下其稠密性。
• 分段线性映射可通过表示式 $ P(x) = \inf_i \sup_j L_{ij}(x) $ 或 $ P(x) = \sup_j \inf_i L_{ij}(x) $ 刻画，其中 $ L_{ij} $ 为线性映射，且其构成正齐次连续映射空间中的一个稠密子空间。