[论文解读] Geometrically Intrinsic Nonlinear Recursive Filters II: Foundations

R. W. R. Darling|ArXiv.org|Sep 6, 1998

Target Tracking and Data Fusion in Sensor Networks参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文基于随机微分几何，为流形上的非线性递归滤波建立了几何内蕴的基础。它引入了流形上扩散过程的最优估计和条件方差的坐标无关、内蕴公式，利用雅可比场和源自调和映射热流的内蕴位置参数，其方法与非线性情形下扩展卡尔曼滤波有本质不同。

ABSTRACT

This paper contains the technical foundations from stochastic differential geometry for the construction of geometrically intrinsic nonlinear recursive filters. A diffusion X on a manifold N is run for a time interval T, with a random initial condition. There is a single observation consisting of a nonlinear function of X(T), corrupted by noise, and with values in another manifold M. The noise covariance of X and the observation covariance themselves induce geometries on M and N, respectively. Using these geometries we compute approximate but coordinate-free formulas for the "best estimate" of X(T), given the observation, and its conditional variance. Calculations are based on use of Jacobi fields and of "intrinsic location parameters", a notion derived from the heat flow of harmonic mappings. When any nonlinearity is present, the resulting formulas are not the same as those for the continuous-discrete Extended Kalman Filter. A subsidiary result is a formula for computing approximately the "exponential barycenter" of a random variable S on a manifold, i.e. a point z such that the inverse image of S under the exponential map at z has mean zero in the tangent space at z.

研究动机与目标

• 开发一种几何内蕴的非线性递归滤波框架，避免依赖坐标的表述。
• 解决在存在噪声和非线性观测时，对流形上扩散过程进行滤波的挑战。
• 推导给定观测下状态后验均值和条件方差的近似但坐标无关的公式。
• 提出基于调和映射热流的'内蕴位置参数'概念，用于在流形上定义几何均值。
• 提供一种在非线性存在时与经典滤波器（如扩展卡尔曼滤波器）有本质区别的理论基础。

提出的方法

• 使用随机微分几何在流形 N 上对状态过程 X 建模为扩散过程。
• 将观测噪声的协方差纳入考虑，其在观测流形 M 上诱导出黎曼几何结构。
• 应用雅可比场分析测地线的敏感性，并推导出与曲率相关的估计校正项。
• 将'内蕴位置参数'定义为调和映射热流方程的解，从而实现几何均值的计算。
• 利用指数映射和切空间投影，推导出后验均值和条件方差的近似、坐标无关公式。
• 依赖指数重心概念：即点 z，使得随机变量 S 在 exp_z 下的原像在 T_zN 中具有零均值。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在黎曼流形上以坐标无关、几何内蕴的方式表述最优滤波？
• RQ2 曲率和雅可比场在超越线性近似的非线性估计偏差校正中起什么作用？
• RQ3 如何利用几何均值（指数重心）的概念在流形上定义内蕴估计参数？
• RQ4 当存在非线性时，所提出的内蕴滤波器与扩展卡尔曼滤波器有何不同？
• RQ5 调和映射的热流能否用于定义流形上随机变量的稳定、内蕴位置参数？

主要发现

• 所提出的滤波公式本质上是坐标无关的，仅依赖于状态流形和观测流形的内在黎曼几何。
• 利用雅可比场可实现对曲率的感知校正，而这类校正项在扩展卡尔曼滤波器中是缺失的。
• 源自调和映射热流的内蕴位置参数，为欧氏空间中的均值提供了一个几何类比。
• 指数重心被定义为满足：在 exp_z 下，随机变量 S 的原像在 z 点切空间中具有零均值的点 z。
• 当存在非线性时，所得的估计公式在数学上可证明与连续-离散扩展卡尔曼滤波器的公式不同。
• 该方法为非线性滤波提供了一套系统化、基于几何的稳健方法，充分尊重了状态空间的流形结构。