[论文解读] Geometry and nonlinear analysis

Gang Tian|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Geometry and complex manifolds参考文献 48被引用 20

一句话总结

本文综述了微分几何中非线性偏微分方程的最新进展，特别关注爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程和极小曲面方程的自对偶解，及其在构造4-流形和卡勒-丘流形不变量中的作用。文章强调了利用校准电流与伪全纯映射来理解极小曲面，并证明了在特定条件下二维校准电流为伪全纯映射的猜想。

ABSTRACT

Nonlinear analysis has played a prominent role in the recent developments in geometry and topology. The study of the Yang-Mills equation and its cousins gave rise to the Donaldson invariants and more recently, the Seiberg-Witten invariants. Those invariants have enabled us to prove a number of striking results for low dimensional manifolds, particularly, 4-manifolds. The theory of Gromov-Witten invariants was established by using solutions of the Cauchy-Riemann equation. These solutions are often refered as pseudo-holomorphic maps which are special minimal surfaces studied long in geometry. It is certainly not the end of applications of nonlinear partial differential equations to geometry. In this talk, we will discuss some recent progress on nonlinear partial differential equations in geometry. We will be selective, partly because of my own interest and partly because of recent applications of nonlinear equations. There are also talks in this ICM to cover some other topics of geometric analysis by R. Bartnik, B. Andrew, P. Li and X.X. Chen, etc.

研究动机与目标

• 综述由非线性偏微分方程推动的几何分析领域近期进展，特别是自对偶解。
• 研究校准电流的正则性与结构，作为理解凯勒流形与辛流形中极小曲面的工具。
• 建立校准电流与伪全纯映射之间的联系，特别是在二维情形。
• 探讨平均曲率流在将辛或拉格朗日子流形形变为极小曲面中的作用。
• 探讨几何偏微分方程（如爱因斯坦方程与二维共形标量曲率方程）解的存在性与正则性。

提出的方法

• 通过 $ \tilde{g} = e^{\varphi}g $ 的共形度量变形，将爱因斯坦条件转化为非线性椭圆型偏微分方程：$ \Delta\varphi + \frac{s(g)}{2} = \lambda e^{\varphi} $。
• 应用变分法与里奇流研究3-和4-流形上爱因斯坦度量的存在性，尤其与瑟斯顿几何化程序相关。
• 采用校准电流——由可rectifiable集合、整数值密度与单位范数微分形式定义——将极小曲面推广至光滑子流形之外的情形。
• 应用弱解与积分电流理论分析奇异极小曲面，特别是在卡勒-丘3-流形中的情形。
• 利用形变希伯格-斯密特方程的绝热极限构造 $ \omega $-校准电流，并将其与伪全纯映射关联。
• 应用平均曲率流于辛与拉格朗日子流形，证明在流下辛结构与拉格朗日结构得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在凯勒或辛流形中，何种条件下校准电流可由伪全纯映射导出？
• RQ2 在凯勒-爱因斯坦4-流形中，任一辛曲面是否可通过平均曲率流同痕至辛极小曲面？
• RQ3 面积极小化电流的正则性结构为何？它们能否被分层为至多 $ k-2 $ 维的光滑伪全纯层？
• RQ4 在2-流形上共形标量曲率方程的解如何与给定共形类中爱因斯坦度量的存在性相关？
• RQ5 里奇流或变分法在何种程度上可解决具有特定拓扑约束的3-和4-流形上爱因斯坦度量的存在性问题？

主要发现

• 每个黎曼2-流形在其共形类中均存在爱因斯坦度量，这由方程 $ \Delta\varphi + \frac{s(g)}{2} = \lambda e^{\varphi} $ 的可解性保证。
• 在 $ S^2 $ 上正曲率度量的空间是可缩的，此结论由哈密顿利用里奇流证明的统一化定理得出。
• 在具有相容度量的辛4-流形中，若校准形式为 $ \omega^l/l! $，则其2维校准电流为伪全纯曲线，且该结论最近已在 $ \dim C = 2 $ 时得到证明。
• 平均曲率流保持凯勒-爱因斯坦曲面中曲面的辛性质，暗示其可同痕至极小辛曲面。
• 关于卡勒-丘流形中校准电流可被分层为至多 $ k-2 $ 维光滑伪全纯层的猜想，近期在二维情形中已得到支持。
• 根据阿尔姆格伦定理，面积极小化电流的正则性已知在豪斯多夫余维数为二的集合外为 $ C^\infty $。