[论文解读] Geometry-Informed Neural Operator for Large-Scale 3D PDEs

Zongyi Li, Nikola Kovachki+9 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2023

Model Reduction and Neural Networks被引用 31

一句话总结

GINO 将基于图的和傅里叶神经算子与符号距离函数相结合，以学习多尺度 PDE 在变化几何上的解算子，提供巨量的加速，同时保持竞争力的精度。

ABSTRACT

We propose the geometry-informed neural operator (GINO), a highly efficient approach to learning the solution operator of large-scale partial differential equations with varying geometries. GINO uses a signed distance function and point-cloud representations of the input shape and neural operators based on graph and Fourier architectures to learn the solution operator. The graph neural operator handles irregular grids and transforms them into and from regular latent grids on which Fourier neural operator can be efficiently applied. GINO is discretization-convergent, meaning the trained model can be applied to arbitrary discretization of the continuous domain and it converges to the continuum operator as the discretization is refined. To empirically validate the performance of our method on large-scale simulation, we generate the industry-standard aerodynamics dataset of 3D vehicle geometries with Reynolds numbers as high as five million. For this large-scale 3D fluid simulation, numerical methods are expensive to compute surface pressure. We successfully trained GINO to predict the pressure on car surfaces using only five hundred data points. The cost-accuracy experiments show a $26,000 imes$ speed-up compared to optimized GPU-based computational fluid dynamics (CFD) simulators on computing the drag coefficient. When tested on new combinations of geometries and boundary conditions (inlet velocities), GINO obtains a one-fourth reduction in error rate compared to deep neural network approaches.

研究动机与目标

• 在具有不同几何形状和网格的 PDEs 上学习解算子的动机。
• 开发一种几何感知架构，以处理不规则输入并保持离散化收敛性。
• 通过将基于图的局部核与全局傅里叶基算子耦合，实现大规模高效。
• 在真实三维几何体上展示超越基于 GPU 的 CFD 求解器的加速，同时保持预测精度。

提出的方法

• 用图神经算子（GNO）编码不规则几何（点云 + 有符号距离函数）到一个规则潜在网格的编码器。
• 在潜在网格上应用一序列 Fourier neural operator (FNO) 层以实现全局核积分。
• 利用基于 GNO 的解码器将结果解码回目标几何，并在不规则网格上查询输出。
• 端到端训练，将几何、强制项和边界数据映射到解（例如表面压力）。
• 使用基于GPU哈希表的邻居搜索来加速图构建和核积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 GINO 是否能够学习一个在不同网格和网格尺度下将几何映射到 PDE 解的离散化收敛算子？
• RQ2 局部 GNO 核和全局 FNO 核的组合在大规模三维 CFD 数据上表现如何？
• RQ3 与传统 CFD 求解器及其他神经算子相比，GINO 的加速幅度与精度权衡是什么？
• RQ4 GINO 是否支持零-shot 超分辨率及对未见几何形状的高效评估？

主要发现

模型	训练误差	测试误差
GNO	18.16%	18.77%
Geo-FNO (sphere)	10.79%	15.85%
UNet (interp)	12.48%	12.83%
FNO (interp)	9.65%	9.42%
GINO (encoder-decoder)	7.95%	9.47%
GINO (decoder)	6.37%	7.12%
MeshGraphNet	9.08%	13.88%
UNet (interp)	9.93%	11.16%
FNO (interp)	12.97%	12.59%
GINO (encoder-decoder)	9.36%	9.01%
GINO (decoder)	9.34%	8.31%

• GINO 在对大尺度 Ahmed-body 几何体计算阻力系数时，相对于 GPU OpenFOAM 实现了高达 26,000x 的加速。
• 在 Shape-Net Car 数据上，GINO 编码器-解码器达到 7.95% 的训练误差和 9.47% 的测试误差；仅解码器的变体达到 6.37% 的训练和 7.12% 的测试误差。
• 在 Ahmed-body 数据上，GINO 编码器-解码器达到 9.36% 的训练和 9.01% 的测试误差；仅解码器的变体达到 9.34% 的训练和 8.31% 的测试误差。
• GINO 实现每次评估 0.1 秒，与传统 CFD 求解器每个案例需要数小时相比，获得巨大速度优势。
• 离散化收敛和零-shot 超分辨率分析显示，在潜在网格分辨率和输入/输出采样率下误差稳定，当在较粗网格上训练时表现鲁棒。