[论文解读] Geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theories

S. Fischer|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 2

一句话总结

本博士论文通过将规范变换推广为使用李代数群联络的向量丛值泛函上的导子，发展了一种坐标无关的、几何化的弯曲杨-米尔斯-希格斯规范理论（CYMH GT）形式化。其主要贡献是一个严格的框架，允许在目标丛上使用任意连接——尤其是非平坦连接——并指出无穷小规范变换的对易子在闭合性上要求连接的平坦性。该工作在保持拉格朗日量不变的场重新定义下，建立了CYMH GT的等价类，并识别出在非平凡拓扑设定（如七球面）中实现平坦连接或消除曲率项ζ的障碍。

ABSTRACT

This is my Ph.D. thesis defended at 31 May 2021, and it is devoted to the study of the geometry of curved Yang-Mills-Higgs gauge theory (CYMH GT), a theory introduced by Alexei Kotov and Thomas Strobl. This theory reformulates classical gauge theory, in particular, the Lie algebra (and its action) is generalized to a Lie algebroid $E$, equipped with a connection $ abla$, and the field strength has an extra term $ζ$. In the classical situation $E$ is an action Lie algebroid, $ abla$ is then the canonical flat connection with respect to such an $E$, and $ζ\equiv 0$. The shortened main results of this Ph.D.thesis are the following; see the abstract in the thesis itself for more information: 1. Reformulating curved Yang-Mills-Higgs gauge theory, also including a thorough introduction and a coordinate-free formulation. Especially the infinitesimal gauge transformation will be generalized to a derivation on vector bundle $V$-valued functionals, induced by a Lie algebroid connection. 2. We will discuss what type of connection for the definition of the infinitesimal gauge transformation should be used, and this is argued by studying the commutator of two infinitesimal gauge transformations, viewed as derivations on $V$-valued functionals. We take the connection on $W$ then in such a way that the commutator is again an infinitesimal gauge transformation. 3. Defining an equivalence of CYMH GTs given by a field redefinition. In order to preserve the physics, this equivalence is constructed in such a way that the Lagrangian of the studied theory is invariant under this field redefinition. It is then natural to study whether there are equivalence classes admitting representatives with flat $ abla$ and/or zero $ζ$, and we will do so especially for Lie algebra bundles, tangent bundles and their direct products as Lie algebroids.

研究动机与目标

• 将弯曲杨-米尔斯-希格斯规范理论中的无穷小规范变换推广至经典平坦连接框架之外。
• 发展一种支持目标丛上任意连接（而不仅是标准平坦连接）的坐标无关的CYMH GT形式化。
• 研究作为V-值泛函上导子的两个无穷小规范变换的对易子的闭合性，确定目标丛上连接的平坦性为闭合性的必要且充分条件。
• 通过保持拉格朗日量的场重新定义，定义CYMH GT之间的等价关系，从而实现按物理等价性对理论进行分类。
• 分析是否存在具有平坦连接和零曲率项ζ的代表，识别在特定几何设定（如七球面的切丛和李代数丛）中的拓扑障碍。

提出的方法

• 将无穷小规范变换形式化为向量丛W沿场映射拉回到V的V-值泛函上的导子。
• 通过李代数群联络引入从W到V的广义拉回连接，从而在规范变换的定义中允许非平坦连接。
• 对W = E和W = TN使用李代数群的基本连接（而非标准平坦连接），以更准确地反映底层规范对称性。
• 将场重新定义构造为保持拉格朗日量的CYMH GT等价关系，确保物理等价性。
• 分析两个无穷小规范变换作为导子的对易子，证明目标丛上连接的平坦性是使对易子仍为无穷小规范变换的必要且充分条件。
• 将该框架应用于具体情形：E = TS⁷（七球面）、E = 李代数丛（LAB）以及R-值泛函，其中规范变换退化为场空间上向量场的李导数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标丛容许非平坦连接时，弯曲杨-米尔斯-希格斯理论中无穷小规范变换的正确几何形式化是什么？
• RQ2 两个无穷小规范变换的对易子再次成为无穷小规范变换的条件是什么？这对目标丛上的连接意味着什么？
• RQ3 能否通过场重新定义消除曲率项ζ？其背后的拓扑障碍是什么？
• RQ4 在每个CYMH GT等价类中，是否总存在一个平坦连接∇的代表？这如何依赖于局部与整体几何？
• RQ5 Bianchi恒等式的失效与曲率项ζ有何关联？ζ能否被解释为这种失效的度量？

主要发现

• 当将两个无穷小规范变换视为V-值泛函上的导子时，其对易子作为规范变换闭合，当且仅当目标丛W上的连接是平坦的。
• 当W = R时，无穷小规范变换退化为场空间上向量场的李导数，其对易子对应于向量场的李括积。
• 李代数群的基本连接（而非标准平坦连接）为非阿贝尔弯曲杨-米尔斯-希格斯理论中的规范变换提供了更自然且对称的描述。
• 在七球面的切丛（TS⁷）上，等价类中不存在具有平坦连接的代表，尽管局部上存在此类代表。
• 对于李代数丛（LABs），全局上平坦连接的存在性受一个上同调类的阻碍，类似于TS⁷情形中的阻碍。
• 曲率项ζ在几何上被解释为场强的Bianchi恒等式失效的度量，且对不存在ζ = 0代表（即使在局部）的等价类，存在一个标准构造。