[论文解读] Geometry of Kähler Metrics and Foliations by Holomorphic Discs

Xijuan Chen, Gang Tian|ArXiv.org|Jul 7, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 18被引用 25

一句话总结

本文通过叶状结构的全纯圆盘，建立了一套关于齐次复蒙日-安培方程的新奇性理论，从而证明了在全纯自同构下的极值凯勒度量的唯一性，并给出了紧致凯勒流形上修正凯勒能量泛函的下界。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to establish a completely new partial regularity theory on certain homogeneous complex Monge-Ampere equations. Our partial regularity theory will be obtained by studying foliations by holomorphic curves and and their relations to homogeneous complex Monge-Ampere equations. As applications, we will prove the uniqueness of extremal Kähler metrics and give an necessary condition for existence of extremal Kähler metrics. Further applications will be discussed in our forthcoming papers.

研究动机与目标

• 通过全纯圆盘的叶状结构，发展齐次复蒙日-安培方程的新奇性理论。
• 在给定凯勒类中，证明极值凯勒度量在全纯自同构下的唯一性。
• 通过修正凯勒能量的非负性，提供常数量曲率凯勒度量存在的必要条件。
• 分析具有有限容量的几乎超正则全纯圆盘的正则性与紧致性性质。
• 证明沿凯勒度量路径的凯勒能量泛函的次调和性及其下界。

提出的方法

• 通过具有全实边界条件的全纯圆盘构造凯勒度量空间的叶状结构。
• 应用Semmes的构造，将叶状结构的几何与齐次复蒙日-安培方程的解联系起来。
• 利用全纯圆盘的形变理论，证明全纯模空间的正则性并选择一般路径。
• 引入几乎超正则叶状结构的概念，并在有限容量约束下证明其紧致性。
• 沿叶分析曲率方程，推导出Hermitian曲率公式并控制几何行为。
• 应用体积形式的强收敛引理，证明凯勒能量泛函的$C^{1,1}$极小化器的正则性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过全纯圆盘叶状结构发展齐次复蒙日-安培方程的奇性理论？
• RQ2 凯勒能量泛函沿凯勒度量路径是否次调和？这对极小化器有何含义？
• RQ3 在何种条件下可保证给定凯勒类中极值凯勒度量的唯一性？
• RQ4 在何种条件下修正凯勒能量有下界？这与常数量曲率凯勒度量的存在性有何关联？
• RQ5 在凯勒几何背景下，能否建立具有有限容量的全纯圆盘的紧致性与正则性？

主要发现

• 沿任意光滑凯勒度量路径，凯勒能量泛函是次调和的，这意味着其在这些路径上具有下界。
• 对于任意具有常数量曲率的凯勒度量，修正凯勒能量有下界零，确认了常数量曲率凯勒度量存在的必要条件。
• 任何$C^{1,1}$极小化器都是弱正则的，且弱凯勒里奇流保持此正则性。
• 具有有限容量的几乎超正则全纯圆盘空间是紧致的，确保了序列的收敛性。
• 在格拉斯曼流形$\mathrm{Gr}^{(n)}$中，子流形$\Sigma_{\mathbf{k}}$的余维数为$\sum_{i<j}|k_i - k_j| - \varrho(\mathbf{k})$，其中$\varrho(\mathbf{k})$是$\mathbf{k}$中的逆序数。
• 全纯圆盘的叶状结构在$\Sigma_{\mathbf{k}}$上诱导出一个可缩子流形结构，并在循环群$\mathcal{L}GL_n(\mathbb{C})$中具有明确的Birkhoff型分解。