[论文解读] Geometry of the moduli space of Higgs bundles

Tamás Hausel|ArXiv.org|Jul 5, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用 29

一句话总结

本文利用规范理论、辛几何与等变拓扑研究黎曼曲面上 Higgs 纤维丛模空间的几何与上同调性质。通过辛切割与 Kähler 商构造了模空间的紧化，证明了无穷级紧化版本的有理上同调同构于规范群的分类空间上同调，支持了紧化模空间与规范群分类空间之间的同伦等价性。

ABSTRACT

This thesis contains work which appeared in several papers. Additionally to the results in the papers it contains a detailed introduction and some further proofs and remarks. The dissertation gives a description of the topology and symplectic and algebraic geometry of Hitchin's hyperkaehler moduli space M of rank 2 Higgs bundles with fixed determinant of odd degree over a fixed Riemann surface. After the long introduction it describes a compactification of M in great detail, using symplectic cutting (math.AG/9804083). Examining the downward Morse flow of a natural circle action on M it shows the vanishing of intersection numbers (math.AG/9805071). Examining the upward Morse flow it explains a set of generators of the cohomology ring and a conjectured explicit description of the cohomology ring (which was proven in math.AG/0003094). Then finally it introduces the resolution tower for M, and shows that its direct limit is homotopically equivalent with the classifying space of the gauge group. In turn it yields another proof of the generation theorem (as in math.AG/0003093) and also yields a purely algebraic geometric proof of the Mumford conjecture about the cohomology ring of the moduli space of rank 2 stable bundles on curves. It finishes by proving homotopy stabilizations in the resolution tower analogously to the Atiyah-Jones conjecture.

研究动机与目标

• 理解紧黎曼曲面上 Higgs 纤维丛模空间的全局几何与拓扑结构。
• 利用辛几何与代数几何方法，构造模空间的自然紧化。
• 计算紧化模空间的有理上同调环，并将其与规范群分类空间的上同调相联系。
• 建立无穷级紧化模空间与规范群分类空间之间的同伦等价性。

提出的方法

• 利用模空间上的 ${\mathbb{C}}^{*}$-作用，通过势能映射定义分层结构，并应用辛切割技术。
• 应用等变上同调与虚拟 Dirac 纤维丛，计算上同调环中的关系。
• 将紧化 $\overline{\mathcal{M}}$ 构造为余锥（nilpotent cone）补集关于 ${\mathbb{C}}^{*}$-作用的商空间。
• 利用最高层级的 Kähler 商 $Z$ 分析紧化空间的上同调性质。
• 引入 Higgs $k$-纤维丛的解析塔 $\widetilde{\mathcal{M}}_k$，取直极限以定义 $\widetilde{\mathcal{M}}_\infty$。
• 采用同伦商以避免挠子问题，并建立 $\widetilde{Z}_\infty^\prime$、$\overline{\mathcal{M}}_\infty^\prime$ 与 $({\widetilde{\mathcal{M}}}_\infty)_{U(1)}$ 之间的同伦等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Higgs 纤维丛模空间的上同调环结构如何？能否显式描述？
• RQ2 如何以几何上有意义的方式对 Higgs 纤维丛模空间进行紧化？
• RQ3 紧化模空间的上同调与规范群分类空间的上同调之间存在何种关系？
• RQ4 Higgs 纤维丛模空间的无穷级紧化是否同伦等价于规范群的分类空间？

主要发现

• 最高层级 Kähler 商 $Z$ 的有理上同调同构于模空间的普通等变上同调对紧支集等变上同调像的商。
• $Z$ 的上同调环满足的关系要么是 $c_1(L_Z)$ 的倍数，要么对应于模空间等变上同调中的关系。
• $\widetilde{Z}_\infty$ 的有理上同调是一个由通用类与 $c_1(L_{\widetilde{Z}_\infty})$ 生成的自由分次交换代数，意味着其同构于 $H^*(B\mathcal{G})$。
• $\widetilde{Z}_\infty$ 的 Poincaré 多项式与这些生成元下的自由分次交换代数一致，证实了上同调环的自由性。
• $\widetilde{Z}_\infty^\prime$ 与 $\overline{\mathcal{M}}_\infty^\prime$ 的同伦型等价于 $({\widetilde{\mathcal{M}}}_\infty)_{U(1)}$，即关于 $U(1)$ 的同伦商。
• 本文提出猜想并提供证据，支持同伦等价关系 $\overline{\mathcal{M}}_\infty \sim \widetilde{Z}_\infty \sim B\mathcal{G}$，将紧化模空间与规范群的分类空间联系起来。