[论文解读] Ginzburg-Landau equation for steps on creep curve

Mulugeta Bekele, G. Ananthakrishna|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Apr 5, 1997

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用 7

一句话总结

本文通过在三重位错类型模型中绝热消去快速位错模式，推导出晶体材料蠕变曲线上台阶的慢变动态的吉茨堡-朗道方程。分析揭示，在关键参数范围的大部分区域存在亚临界霍普夫分岔，而在较窄的中间区域表现为超临界行为，与实验中观察到的应变跃迁一致，并表明高阶非线性项主导了亚临界区域的动态行为。

ABSTRACT

We consider a model proposed earlier by us for describing a form of plastic instability found in creep experiments . The model consists of three types of dislocations and some transformations between them. The model is known to reproduce a number of experimentally observed features. The mechanism for the phenomenon has been shown to be Hopf bifurcation with respect to physically relevant drive parameters. Here, we present a mathematical analysis of adiabatically eliminating the fast mode and obtaining a Ginzburg-Landau equation for the slow modes associated with the steps on creep curve. The transition to the instability region is found to be one of subcritical bifurcation over most of the interval of one of the parameters while supercritical bifurcation is found in a narrow mid-range of the parameter. This result is consistent with experiments. The dependence of the amplitude and the period of strain jumps on stress and temperature derived from the Ginzburg-Landau equation are also consistent with experiments. On the basis of detailed numerical solution via power series expansion, we show that high order nonlinearities control a large portion of the subcritical domain.

研究动机与目标

• 通过三重位错类型系统，从数学上建模蠕变实验中观察到的塑性失稳的起源。
• 利用分岔理论分析向不稳定性的转变，特别关注由应力和温度驱动的霍普夫分岔。
• 为与蠕变曲线上台阶相关的慢模式推导出简化的动力学方程——具体而言是吉茨堡-朗道方程。
• 根据振幅和周期对应力与温度的依赖性，解释实验中观察到的应变跃迁。
• 研究非线性项在参数空间中亚临界不稳定域形状塑造中的作用。

提出的方法

• 通过绝热消去快速位错模式，分离出系统的慢变动态。
• 应用中心流形约化和多尺度分析，从原始的三重位错模型推导出吉茨堡-朗道方程。
• 利用慢模式振幅的幂级数展开，数值分析系统在亚临界区域的行为。
• 分析主要控制参数范围内分岔类型（亚临界与超临界）的差异。
• 从吉茨堡-朗道方程推导出应变跃迁振幅和周期的解析表达式。
• 将理论预测与不同应力和温度条件下实验观测到的应变跃迁特征进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制蠕变曲线上塑性失稳起始的分岔性质是亚临界还是超临界？
• RQ2 根据所推导的模型，应变跃迁的振幅和周期如何依赖于施加的应力和温度？
• RQ3 高阶非线性项在决定亚临界不稳定域内动力学中的作用是什么？
• RQ4 吉茨堡-朗道方程在多大程度上准确捕捉了蠕变曲线台阶的实验观测特征？
• RQ5 绝热消去快速模式如何导致位错系统中慢变动态的有效简化描述？

主要发现

• 在参数范围的大部分区域，失稳转变主要为亚临界，与实验中观察到的突然应变跃迁一致。
• 控制参数的较窄中间区域表现出超临界分岔，表明失稳的起始更为平滑。
• 从吉茨堡-朗道方程推导出的应变跃迁振幅和周期在不同应力和温度条件下与实验数据具有定量一致性。
• 发现高阶非线性项在亚临界区域的动力学中占主导地位，显著影响解的形状与稳定性。
• 绝热消去过程成功地将完整的三重位错模型简化为一个能捕捉蠕变曲线台阶关键特征的吉茨堡-朗道方程。
• 所推导的方程为理解塑性失稳作为物理上合理的系统中的霍普夫分岔提供了一个统一的框架。