[论文解读] Global Attractivity and Extinction for Lotka-Volterra systems with infinite delay and feedback controls

Teresa Faria, Yoshiaki Muroya|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2013

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文在瞬时自限制相对于延迟效应表现出弱对角优势的条件下，为具有无限分布时滞和反馈控制的n物种Lotka-Volterra系统建立了全局吸引性与灭绝准则。它证明了饱和平衡的存在性，并提供了其全局吸引性或种群灭绝的充分条件，而无需使用李雅普诺夫泛函或对相互作用项施加符号限制。

ABSTRACT

The paper deals with a multiple species Lotka-Volterra model with infinite distributed delays and feedback controls, for which we assume a weak form of diagonal dominance of the instantaneous negative intra-specific terms over the infinite delay effect in both the population variables and controls. General sufficient conditions for the existence and attractivity of a saturated equilibrium are established. When the saturated equilibrium is on the boundary of $\R^n_+$, sharper criteria for the extinction of all or part of the populations are given. While the literature usually treats the case of competitive systems only, here no restrictions on the signs of the intra- and inter-specific delayed terms are imposed. Moreover, our technique does not require the construction of Lyapunov functionals.

研究动机与目标

• 分析具有无限时滞和反馈控制的n物种Lotka-Volterra系统的长期行为。
• 在瞬时自限制相对于延迟效应表现出弱对角优势的条件下，建立饱和平衡全局吸引性的充分条件。
• 推导当饱和平衡位于非负单纯形边界时，种群灭绝的精确准则。
• 通过去除对种内与种间延迟项符号的限制，并避免构造李雅普诺夫泛函，拓展现有结果。
• 展示反馈控制如何改变全局吸引平衡的位置，从而实现灭绝物种的恢复或捕食者的灭绝。

提出的方法

• 研究采用了一种弱对角优势形式，要求每种的瞬时自限制系数主导其净延迟效应。
• 系统通过具有无限时滞核 $ K_{ij}, G_i $ 的耦合泛函微分方程建模，这些核被归一化为总质量为一，并满足可积性与连续性条件。
• 分析依赖于比较原理和矩阵理论工具，特别是利用M-矩阵及其广义逆来评估稳定性和吸引性。
• 饱和平衡被定义为通过将时间导数设为零而导出的代数方程组的解，其分量由系统参数决定。
• 通过辅助方程 $ u_i'(t) = -e_i u_i(t) + d_i x_i(t) $ 引入反馈控制，该控制调节种群动态而不改变内在增长率。
• 该方法避免了李雅普诺夫泛函的构造，转而使用谱分析与矩阵分析推导全局吸引性与灭绝结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有无限时滞和反馈控制的Lotka-Volterra系统中存在饱和平衡，并吸引所有正解？
• RQ2 如何利用反馈控制防止本将灭绝的种群在无控制时灭绝？
• RQ3 当饱和平衡位于非负单纯形边界时，何种条件可确保某类或全部种群灭绝？
• RQ4 是否可在不构造李雅普诺夫泛函的情况下建立全局吸引性，特别是当相互作用系数具有混合符号时？
• RQ5 与有限时滞模型相比，无限时滞的引入如何影响受控Lotka-Volterra系统的稳定性与长期行为？

主要发现

• 若瞬时自限制系数 $ \nu_i $ 满足 $ \nu_i - |a_{ii}| - c_i \frac{d_i}{e_i} \neq 0 $，且关联矩阵 $ \tilde{M} $ 为M-矩阵，则饱和平衡存在且全局吸引。
• 当饱和平衡位于 $ \rm I\rm R^n_+ $ 的边界上时，若 $ \nu_i - a_{ii}^- \neq 0 $ 且矩阵 $ \tilde{M}_0 $ 为M-矩阵，则全部或部分种群将灭绝。
• 在两物种系统中，若 $ b_1 > 0, b_2 \to 0 $，则当 $ \nu_1 - |a_{11}| - c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq 0 $ 时，物种2的灭绝可保证，且在此条件下平衡点 $ E_1 $ 全局吸引。
• 在捕食-被捕食系统中，若 $ b_2 < 0 $，则当 $ c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq 0 $ 且 $ c_1 \frac{d_1}{e_1} \neq \frac{1}{10} $ 时，可通过反馈控制强制捕食者灭绝，确保 $ E_1 $ 全局吸引。
• 论文提供了正平衡点全局吸引的显式条件：例如，当 $ \tilde{M} $ 为M-矩阵且 $ \nu_i - |a_{ii}| - c_i \frac{d_i}{e_i} \neq 0 $ 时，该平衡点吸引所有正解。
• 结果对相互作用系数符号变化具有鲁棒性：该方法即使在 $ a_{ij} $ 为负（如捕食-被捕食关系）时也适用，而不同于许多先前仅限于竞争系统的研究所受限制。