[论文解读] Global attractors for multivalued semiflows with weak continuity properties

Piotr Kalita, Grzegorz Łukaszewicz|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文建立了具有弱连续性质的多值半流的全局吸引子的存在性，引入了一项新条件（NW），该条件弱化了标准的上半连续性要求。通过证明弱紧致性和强-弱上半连续性，作者在希尔伯特空间和勒贝格空间中证明了具有非单调多值边界项和源项的反应-扩散问题的吸引子存在性。

ABSTRACT

A method is proposed to deal with some multivalued semiflows with weak continuity properties. An application to the reaction-diffusion problems with nonmonotone multivalued semilinear boundary condition and nonmonotone multivalued semilinear source term is presented.

研究动机与目标

• 将全局吸引子理论扩展到缺乏强上半连续性的多值半流，通过引入一种更弱的连续性条件。
• 解决PDE和包含式中解的非唯一性问题，特别是当多值项源自Clarke次微分时。
• 在放松的连续性和紧致性假设下，建立在 $ H $ 和 $ L^p(\Omega) $ 空间中的吸引子存在性。
• 将先前关于强-弱连续性和 $ \omega $-极限紧致性的结果推广至多值、非严格半流情形。
• 为双变分不等式和具有非单调、多值非线性的反应-扩散问题提供一个可应用的理论框架。

提出的方法

• 引入（NW）条件：弱紧致的取值和多值半流 $ G(t,x) $ 的强-弱上半连续性。
• 利用能量估计和先验界估计，证明在 $ H $ 和 $ L^p(\Omega) $ 中存在有界吸收集。
• 通过基于高频分量指数衰减的展平条件，在 $ H $ 中建立 $ \omega $-极限紧致性。
• 应用引理3.15，利用 $ |v| \geq M $ 的一致尾部估计，将 $ \omega $-极限紧致性从 $ H $ 转移到 $ L^p(\Omega) $。
• 利用推论2.2和定理2.4，从（NW）、有界吸收集和 $ \omega $-极限紧致性推导出全局吸引子的存在性。
• 通过分部积分和Gronwall型估计控制 $ (|v| - M)_+ $ 的 $ L^p $-范数，实现一致的尾部控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为不满足强上半连续性但满足更弱（NW）条件的多值半流证明全局吸引子的存在性？
• RQ2 如何为具有非单调多值边界项和源项的反应-扩散问题建立吸引子存在性？
• RQ3 当强-弱连续性成立时，什么条件能确保 $ L^p(\Omega) $ 中的 $ \omega $-极限紧致性？
• RQ4 能否将吸引子理论扩展至非严格多值半流情形，其中 $ G(t+s,x) \subset G(t,G(s,x)) $，而非等式成立？
• RQ5 Clarke次微分结构在微分包含中在多大程度上可用于验证（NW）条件？

主要发现

• 多值半流 $ G: \mathbb{R}^+ \times H \to P(H) $ 在 $ H $ 中具有全局吸引子，其存在性由（NW）条件和 $ \omega $-极限紧致性所确立。
• 半流 $ G: \mathbb{R}^+ \times L^p(\Omega) \to P(L^p(\Omega)) $ 在 $ L^p(\Omega) $ 中具有全局吸引子，通过引理3.15将紧致性从 $ H $ 转移到 $ L^p(\Omega) $ 而得证。
• 对任意 $ \varepsilon > 0 $，存在 $ M = M(\varepsilon, R) $，使得对所有 $ t \geq t_0 $，有 $ \|(|v(t)| - M)_+\|_{L^p(\Omega)} \leq \varepsilon $，从而确保一致的尾部控制。
• 通过指数衰减和能量估计，控制分解 $ v = v_1 + v_2 $ 中高频分量 $ v_2 $ 的 $ L^p $-范数。
• 项 $ \|(|v| - M)_+\|_{L^{2p-2}(\Omega)}^{2p-2} $ 被有界为 $ \frac{p}{d}\|F\|_H^2 \frac{e^{\lambda_{n+1}(t+2)}}{\lambda_{n+1}} + 2e^{\lambda_{n+1}(t+2)}\delta $，从而实现一致的小量。
• 在 $ H $ 中的吸引子是紧致的，并吸引所有有界集，其证明依赖于 $ \omega $-极限紧致性和（NW）条件。