[论文解读] Global $C^2$ estimates for convex solutions of curvature equations

Pengfei Guan, Changyu Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文建立了凸超曲面求解 Weingarten 曲率方程 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ 的全局 $C^2$ 估计，其中 $f$ 依赖于位置和法向量。通过引入新颖的非线性测试函数与最大值原理技术，作者证明了曲率界不依赖于 $f$ 对 $\nu$ 的依赖关系，从而解决了 $1 < k < n$ 时几何全非线性 PDE 中长期悬而未决的问题。当 $k=2$ 时，该结果可推广至 2-凸星形解。通过构造一个曲率爆破的反例序列，证明了在一般情况下此类估计不成立。

ABSTRACT

We establish $C^2$ a priori estimate for convex hypersurfaces whose principal curvatures $κ=(κ_1,..., κ_n)$ satisfying Weingarten curvature equation $σ_k(κ(X))=f(X,ν(X))$. We also obtain such estimate for admissible 2-convex hypersurfaces in the case $k=2$. Our estimates resolve a longstanding problem in geometric fully nonlinear elliptic equations.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的难题：当 $1 < k < n$ 时，为 Weingarten 曲率方程 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ 的凸解建立全局 $C^2$ 估计。
• 在 $k=2$ 的情况下，将 $C^2$ 估计推广至星形 $2$-凸超曲面，其中 $f$ 同时依赖于位置和法向量。
• 通过构造一个反例序列，证明当 $f$ 依赖于 $\nu$ 时，$C^2$ 估计 (1.2) 在一般情况下不成立，该序列的曲率发生爆破。
• 通过识别 $f$ 的适当屏障条件，为预设曲率问题的存在性结果提供框架。

提出的方法

• 引入基于主曲率的新型非线性测试函数，具备有利的凸性性质，以应用最大值原理。
• 在精心构造的曲率函数上使用最大值原理，推导出最大主曲率的上界。
• 利用支撑函数表示与 Minkowski 恒等式，控制超曲面的几何性质，确保内径具有统一的正下界。
• 通过支撑函数 $u_t = (1-t) + t u$ 构造一参数族凸体 $\Omega_{u_t}$，其中 $u$ 光滑且严格凸。
• 分析当 $t \to t_0$ 时，$\sigma_k / \sigma_l$ 在 $M_t = \partial \Omega_{u_t}$ 上的行为，其中 $\det(W_{u_{t_0}}) = 0$，导致曲率爆破。
• 在 $u_t$ 和 $f_t = \sigma_{n-k}(W_{u_t}) / \sigma_{n-l}(W_{u_t})$ 上建立统一的 $C^1$ 和 $C^3$ 估计，确保 $f_t$ 与 $1/f_t$ 在 $C^3$ 范数下一致有界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $1 < k < n$ 且 $f$ 同时依赖于位置和法向量时，能否为曲率方程 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ 的凸解建立全局 $C^2$ 估计？
• RQ2 当 $k=2$ 时，$C^2$ 估计 (1.2) 是否对 $2$-凸星形解成立？
• RQ3 当 $f$ 依赖于 $\nu$ 时，$C^2$ 估计能否推广？还是其在一般情况下不成立？
• RQ4 何种几何条件可确保尽管 $f$ 依赖于 $\nu$，曲率估计仍保持一致？
• RQ5 能否构造一个反例，使得 $f$ 依赖于 $\nu$，$\|f\|_{C^3}$ 与 $\|1/f\|_{C^3}$ 一致有界，但曲率估计仍失效？

主要发现

• 对于满足 $\sigma_k(\kappa) = f(X, \nu)$ 的闭凸超曲面，其中 $f \in C^2$，$f > 0$，且 $M$ 包含一个半径 $r_0 > 0$ 的球，全局 $C^2$ 估计成立，且估计界仅依赖于 $n$、$k$、$r_0$、$\inf f$ 和 $\|f\|_{C^2}$。
• 当 $k=2$ 时，对于星形 $2$-凸超曲面，若 $f \in C^2$，则 $C^2$ 估计在 $\inf f$、$\|f\|_{C^2}$、$\inf \rho$ 和 $\|\rho\|_{C^1}$ 的依赖关系下成立。
• 当 $f$ 依赖于 $\nu$ 时，估计 (1.2) 在一般情况下不成立，通过构造一序列 $M_t$ 的严格凸超曲面得到证明，其中 $\|f_t\|_{C^3}$ 与 $\|1/f_t\|_{C^3}$ 一致有界，但 $\kappa_{\max} \to \infty$ 当 $t \to t_0$。
• 该反例通过一参数族支撑函数 $u_t$ 构造，其中在某点处 $\det(W_{u_{t_0}}) = 0$，导致 $M_t$ 上曲率爆破。
• 每个 $\Omega_{u_t}$ 在平移后均包含一个半径为 $c_0 > 0$ 的有界球，确保内径一致且 $C^1$ 控制，即使曲率发生爆破。
• 证明依赖于 Minkowski 恒等式与 $\sigma_n(W_{u_t})$ 的一致正下界，以保证存在点使得 $W_{u_t}$ 一致正定，从而推出局部一致的抛物型夹逼。