[论文解读] Global existence and optimal decay estimates of strong solutions to the compressible viscoelastic flows

Xinghong Pan, Jiang Xu|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用 4

一句话总结

该论文通过在临界 $L^p$ Besov 空间中采用一种新颖的双有效速度方法，建立了 $R^n$ ($n \geq 2$) 上可压缩粘弹性流体系统的强解的全局存在性及最优衰减速率估计，拓展了基于 $L^2$ 框架的先前结果，并允许初始数据较大且高度振荡。

ABSTRACT

This paper is dedicated to the global existence and optimal decay estimates of strong solutions to the compressible viscoelastic flows in the whole space $\mathbb{R}^n$ with any $n\geq2$. We aim at extending those works by Qian \& Zhang and Hu \& Wang to the critical $L^p$ Besov space, which is not related to the usual energy space. With aid of intrinsic properties of viscoelastic fluids as in \cite{QZ1}, we consider a more complicated hyperbolic-parabolic system than usual Navier-Stokes equations. We define "\emph{two effective velocities}", which allows us to cancel out the coupling among the density, the velocity and the deformation tensor. Consequently, the global existence of strong solutions is constructed by using elementary energy approaches only. Besides, the optimal time-decay estimates of strong solutions will be shown in the general $L^p$ critical framework, which improves those decay results due to Hu \& Wu such that initial velocity could be extit{large highly oscillating}.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{R}^n$ ($n \geq 2$) 上，建立可压缩粘弹性流体系统强解的全局存在性。
• 将先前在基于 $L^2$ 的 Besov 空间中的结果推广至更一般的临界 $L^p$ Besov 框架（$p \in [2,4]$）。
• 在最小正则性假设下，推导强解的最优时间衰减速率。
• 处理大且高度振荡的初始速度数据，克服早期工作中存在的局限性。
• 提出一种新的双有效速度公式，以解耦双曲-抛物系统中密度、速度与形变张量之间的耦合关系。

提出的方法

• 引入一种新颖的双有效速度公式，以消除粘弹性系统中密度、速度与形变张量之间的耦合。
• 利用粘弹性流体的结构特性，对应力张量进行内在分解，以简化系统。
• 采用基于 $L^p$ 的临界 Besov 空间框架 $\dot{\mathcal{B}}^{s,\sigma}_{2,p}$ 和 $\dot{B}^{s}_{p,1}$，在最小正则性条件下分析系统。
• 结合初等能量估计与时间加权能量方法，证明全局存在性。
• 利用混合 Besov 空间中的抛积与乘积估计，控制非线性项。
• 在临界框架下，应用热方程与输运方程的最优正则性估计，推导衰减速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在临界 $L^p$ Besov 空间中（$p \in [2,4]$），可压缩粘弹性流体在 $\mathbb{R}^n$ 上的强解是否能全局存在？
• RQ2 如何有效消除密度、速度与形变张量之间的耦合，以实现在临界空间中的全局存在性？
• RQ3 在一般 $L^p$ 临界框架下，强解的最优时间衰减速率是什么，特别是对于大且振荡的初始速度？
• RQ4 能否将结果从基于 $L^2$ 的框架推广至 $p \neq 2$ 的 $L^p$ 临界空间？
• RQ5 双有效速度公式在使初等能量方法适用于临界 $L^p$ 设置中起到何种作用？

主要发现

• 当初始数据属于临界 $L^p$ Besov 空间 $\dot{\mathcal{B}}^{n/2-1,n/2}_{2,p} \times \dot{B}^{n/2-1}_{p,1}$（$p \in [2,4]$）时，可压缩粘弹性系统在 $\mathbb{R}^n$（$n \geq 2$）上存在全局强解。
• 双有效速度公式成功实现了解耦，使得无需在能量空间中要求小初值，即可通过初等能量方法证明全局存在性。
• 在一般 $L^p$ 临界框架下建立了最优时间衰减速率，其衰减速率与系统的物理标度一致。
• 本研究结果优于 Hu 与 Wu 的早期工作，允许初始速度较大且高度振荡，而这是早期基于 $L^2$ 的框架所不允许的。
• 该框架具有鲁棒性，可进一步推广至超出胡克线性模型的更一般的弹性能量形式。
• 衰减估计是精确的，且与系统的标度不变性一致，证实了所推导衰减速率的最优性。