[论文解读] Global existence of weak solution to compressible two-fluid model without any domination condition in three dimensions

Huanyao Wen|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文建立了三维可压缩双流体模型弱解的全局存在性，适用于大初始数据且绝热常数 γ, Γ ≥ 9/5 的情形，无需对初始密度施加任何主导条件。分析处理了来自不同速度模型或动理-流体极限的双组分压强律，通过新颖的估计与技术克服了双密度在正则性上的挑战。

ABSTRACT

We consider the Dirichlet problem for a compressible two-fluid model in three dimensions, and obtain the global existence of weak solution with large initial data and independent adiabatic constants \Gamma,\gamma>=9/5. The pressure functions are of two components solving the continuity equations. Two typical cases for the pressure are considered, which are motivated by the compressible two-fluid model with possibly unequal velocities [3] and by a limiting system from the Vlasov-Fokker-Planck/compressible Navier-Stokes system [27] (see also some other relevant models like compressible MHD system for two-dimensional case [24] and compressible Oldroyd-B model with stress diffusion [1]). The lack of enough regularity for the two densities turns out some essential difficulties in the two-component pressure compared with the single-phase model, i.e., compressible Navier-Stokes equations. Some new ideas along with some new estimates are therefore necessary. In this paper, the global existence theory does not require any domination conditions for the initial densities, which implies that transition to each single-phase flow is allowed.

研究动机与目标

• 建立三维可压缩双流体模型在大初始数据下的弱解全局存在性。
• 消除对两个初始密度之间主导条件的依赖，从而允许向单相流的过渡。
• 解决由于不同流体相具有可能不等速度而引起的双组分压强项正则性不足的问题。
• 将可压缩N-S方程的理论框架扩展至具有独立绝热常数的多相系统。
• 发展新的分析技术，以在最小结构假设下处理耦合的连续性与动量方程。

提出的方法

• 将双流体模型表述为包含双组分压强项的连续性与动量方程组。
• 应用补偿紧致性与弱收敛技术，以处理双密度的低正则性。
• 引入新估计以控制压强律中两流体组分之间的相互作用，尤其在速度不等时的情形。
• 利用条件 γ, Γ ≥ 9/5 以确保弱解框架下足够的可积性与紧致性。
• 通过正则化构造近似解，并利用弱紧致性与熵估计取极限。
• 将可压缩N-S方程与动理-流体极限模型中的技术适配至双相体系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无初始密度主导条件限制下，为具有大初始数据的3D可压缩双流体模型建立全局弱解？
• RQ2 在不假设单相流的前提下，如何克服双组分压强项正则性不足的问题？
• RQ3 为处理具有独立绝热常数且可能速度不等的两股流体之间的耦合，需要哪些分析技术？
• RQ4 在不假设某一相占主导的前提下，可压缩N-S理论在多相系统中的扩展程度如何？
• RQ5 绝热常数需满足何种条件，才能在双流体框架下确保弱解存在所需的紧致性？

主要发现

• 在初始数据属于 L^∞ 且具有有限能量的条件下，确立了3D可压缩双流体模型弱解的全局存在性。
• 该结果无需对两个初始密度施加任何主导条件，从而允许发生相变并过渡至单相流。
• 分析适用于两种典型压强模型：一种源于速度不等的双流体系统，另一种源于Vlasov-Fokker-Planck/可压缩N-S极限。
• 要求绝热常数满足 γ, Γ ≥ 9/5，以确保弱解框架下足够的可积性与紧致性。
• 发展了新颖的估计方法，以在双密度正则性较低的情况下控制双组分压强项。
• 该方法成功将弱解理论从单相可压缩N-S方程扩展至多相系统，且仅基于最小结构假设。