[论文解读] Global Existence of Weak Solutions to the Barotropic Compressible Navier-Stokes Flows with Degenerate Viscosities

Jing Li, Zhouping Xin|arXiv (Cornell University)|Apr 26, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 37被引用 79

一句话总结

本文在二维或三维空间中，即使初始数据较大且存在真空时，也建立了具有退化粘性系数的可压缩巴特罗普流体型Navier-Stokes方程弱解的全局存在性。通过构造一个精心设计的正则化近似系统，使其满足能量、BD熵和Mellet-Vasseur估计，并基于Bresch-Desjardins与Mellet-Vasseur的紧致性方法，作者解决了Lions（1998年）提出的关于退化粘性系数的开放性问题。

ABSTRACT

This paper concerns the existence of global weak solutions to the barotropic compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficients. We construct suitable approximate system which has smooth solutions satisfying the energy inequality, the BD entropy one, and the Mellet-Vasseur type estimate. Then, after adapting the compactness results due to Mellet-Vasseur [Comm. Partial Differential Equations 32 (2007)], we obtain the global existence of weak solutions to the barotropic compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity coefficients in two or three dimensional periodic domains or whole space for large initial data. This, in particular, solved an open problem in [P. L. Lions. Mathematical topics in fluid mechanics. Vol. 2. Compressible models. Oxford University Press, 1998].

研究动机与目标

• 解决关于具有退化粘性系数的巴特罗普可压缩Navier-Stokes方程弱解全局存在性的开放问题，特别是在存在真空的情况下。
• 将存在性理论扩展至周期域或全空间中的大初始数据，超越经典的小能量或非真空假设。
• 构造一个光滑的近似系统，即使在存在真空的情况下，也能满足能量不等式、BD熵不等式和Mellet-Vasseur型估计。
• 将Bresch-Desjardins与Mellet-Vasseur的紧致性技术适配到退化粘性设定中，确保解序列收敛至全局弱解。
• 通过允许依赖于密度的粘性系数，推广先前关于退化粘性的结果，其物理动机包括浅水模型和基于Boltzmann方程的推导。

提出的方法

• 通过引入参数ε来处理粘性系数的退化与真空问题，构造一个具有光滑解的正则化近似系统。
• 确保近似解满足能量不等式、Bresch-Desjardins（BD）熵不等式以及Mellet-Vasseur型估计，以控制速度的可积性并防止浓度现象。
• 利用标准压缩映射原理，在截断区域$Q_\varepsilon$上建立近似系统光滑解的局部存在性。
• 通过在$Q_\varepsilon$外部将解设为零，将解延拓至全区域$\Omega$，并保持关于ε的统一估计。
• 应用对角线序列法，并结合Bresch-Desjardins（2002, 2003）与Mellet-Vasseur（2007）的紧致性结果，提取极限解。
• 验证极限解满足原方程的弱形式，并继承所需的可积性与正则性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 当初始数据较大且存在真空时，具有退化粘性系数的巴特罗普可压缩Navier-Stokes方程是否可能存在全局弱解？
• RQ2 在退化粘性情况下，特别是当$h(\rho)$与$g(\rho)$依赖于密度时，Bresch-Desjardins熵不等式是否仍然有效且具有实用性？
• RQ3 在退化粘性框架下，能否为光滑近似建立Mellet-Vasseur型估计，以控制速度的可积性？
• RQ4 是否可以构造一个正则化近似系统，使其在存在真空的情况下仍满足所有必要的先验估计（能量、BD熵、Mellet-Vasseur）？
• RQ5 如何将紧致性方法适配到退化粘性情形，以实现极限过程并获得全局弱解？

主要发现

• 本文证明了在周期域和$\mathbb{R}^3$中，对于大初始数据（包括存在真空的情况），具有退化粘性的巴特罗普可压缩Navier-Stokes方程存在全局弱解。
• 所构造的近似系统在正则化参数ε上一致满足能量不等式、BD熵不等式和Mellet-Vasseur估计。
• 近似解的极限构成一个满足分布意义下原方程弱形式的全局弱解。
• 该结果解决了Lions（1998年）提出的开放问题，即当$h(\rho) = \rho$、$g(\rho) = 0$，或$h(\rho) = g(\rho) = \rho$时弱解的存在性问题，这些情形源于浅水模型等物理推导。
• 该方法通过BD熵与Mellet-Vasseur估计在真空处实现了统一控制，成功应对了真空带来的挑战，即使粘性在真空处退化。
• 该分析适用于二维与三维空间，证实了该方法在粘性退化与大初始数据下的鲁棒性。