[论文解读] Global existence result for phase transformations with heat transfer in shape memory alloys

Lætitia Paoli, Adrien Petrov|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2011

Shape Memory Alloy Transformations参考文献 32被引用 11

一句话总结

该论文建立了形状记忆合金相变热力学一致模型的全局弱解存在性，该模型耦合了速率无关演化与热传导。通过在基于焓的变分框架中采用不动点论证与全局能量估计，作者在初始数据和材料参数的一般正则性假设下，证明了三维系统的解的存在性。

ABSTRACT

We consider three-dimensional models for rate-independent processes describing materials undergoing phase transformations with heat transfer. The problem is formulated within the framework of generalized standard solids by the coupling of the momentum equilibrium equation and the flow rule with the heat transfer equation. Under appropriate regularity assumptions on the initial data, we prove the existence a global solution for this thermodynamically consistent system, by using a fixed-point argument combined with global energy estimates.

研究动机与目标

• 建立形状记忆合金相变热力学一致模型的全局弱解存在性。
• 将内变量的速率无关演化与热传导耦合，考虑热效应与黏性阻尼。
• 通过线性化Helmholtz自由能分解，引入温度与内变量之间更一般的耦合关系，拓展现有结果。
• 在基于焓变换的变分框架中，通过不动点论证证明解的存在性。
• 推导全局能量估计，确保温度严格为正，并保证解的长时间存在性。

提出的方法

• 采用广义标准材料框架，建立动量平衡方程、流动法则与热传导方程的系统形式。
• 引入Helmholtz自由能的分解，分离机械与热贡献，以保证热力学一致性。
• 将系统重新表述为焓形式，以处理非线性性并实现能量估计。
• 通过依次求解给定温度下的动量-流动法则系统与给定右端项下的焓方程，应用不动点论证。
• 利用全局能量估计与Gagliardo-Nirenberg不等式，控制Lebesgue空间与Sobolev空间中的焓与温度。
• 采用反证法将局部解延拓至整个时间区间[0, T]，依赖于与时间无关的先验估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有热传导与速率无关演化的三维形状记忆合金相变模型中，全局弱解是否存在？
• RQ2 在结合速率无关过程与热传导的系统中，如何保持热力学一致性？
• RQ3 在何种材料参数与初始数据条件下，可保证解的全局存在性且温度严格为正？
• RQ4 焓形式是否可用于推导温度及其梯度的全局先验估计？
• RQ5 在自由能与耗散势的正则性与结构假设下，系统在何种条件下存在全局解？

主要发现

• 在初始数据与材料参数的适当正则性假设下，系统在[0,T]上存在全局弱解$(u, z, \theta)$。
• 解满足$u \to {\rm W}^{1,q}(0,T; {\rm V}^p_0(\bar{Ω}))$，$z \to {\rm L}^∞(0,T; {\rm H}^1(Ω) \cap {\rm X}_{q,p}(Ω)) \cap {\rm H}^1(0,T; {\rm L}^2(Ω))$，且$\vartheta \in \mathcal{W}$，几乎处处满足$\vartheta > 0$。
• 通过反证法建立全局存在性，证明最大存在时间$\bar{\tau}$必等于$T$。
• 当$\beta_1 > \max(3, \frac{6}{5(1-p_1)})$时，对任意$\tau$，获得$\vartheta$在${\rm L}^{2\alpha}(0,\tau; {\rm L}^\alpha(\Omega))$中的全局估计，$\alpha \in (7/6, 4/3)$，且该估计与$\tau$无关。
• 证明温度$\theta = \zeta(\vartheta)$属于${\rm L}^{2\beta_1\alpha}(0,\tau; {\rm L}^{\beta_1\alpha}(\Omega))$，且满足$\beta_1\alpha > 4$，从而支持不动点论证的全局延拓。
• 该方法依赖于测试函数$\chi = 1 - \frac{1}{(1+\vartheta)^\xi}$，以推导$\nabla\vartheta$的梯度估计，灵感源自Boccardo与Gallou€«t。