[论文解读] Global Exponential Stability of Almost Periodic Solution for A Large Class of Delayed Dynamical Systems

Wenlian Lu, Tianping Chen|ArXiv.org|Oct 30, 2006

Neural Networks Stability and Synchronization参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文针对一类具有时变系数的广义延迟动力系统（包括分布延迟和混合延迟）建立了几乎周期解的全局指数稳定性。通过一种新颖的、不依赖于先前存在性定理的李雅普诺夫型方法，证明了在激活函数和系统参数满足较弱条件时，存在唯一几乎周期解，且所有轨迹均以指数速度收敛于该解。

ABSTRACT

Research of delayed neural networks with variable self-inhibitions, inter-connection weights, and inputs is an important issue. %In the real world, self-inhibitions, %inter-connection weights, and inputs should vary through time. In In this paper, we discuss a large class of delayed dynamical systems with almost periodic self-inhibitions, inter-connection weights, and inputs. This model is universal and includes delayed systems with time-varying delays, distributed delays as well as combination of both. We prove that under some mild conditions, the system has a unique almost periodic solution, which is globally exponentially stable. We propose a new approach, which is independent of existing theory concerning with existence of almost periodic solution for dynamical systems.

研究动机与目标

• 建立一大类具有时变系数的延迟动力系统中几乎周期解的存在性与全局指数稳定性的理论。
• 将具有离散延迟、分布延迟及混合延迟的模型统一到一个通用框架中。
• 消除以往研究中常见的限制性假设（如互连权重的下界），以促进几乎周期解的研究。
• 发展一种不依赖于复杂现有理论（如文献[14]中的定理1.93）的新分析方法，以证明存在性与稳定性。
• 通过将系数设为周期或常数，将结果推广至周期解和平衡点作为特例。

提出的方法

• 利用勒贝格-斯蒂尔杰斯积分，构建一个具有时变自抑制、互连权重和输入的一般延迟动力系统，以统一处理离散延迟与分布延迟。
• 提出一种新颖的李雅普诺夫型函数，涉及加权范数 $ \|u(t)\|_{\{\xi,\infty\}} = \max_i |\xi_i^{-1} u_i(t)| $，以分析稳定性。
• 基于 $ e^{\beta t} \|y(t)\|_{\{\xi,\infty\}} $ 的导数，采用比较论证法，证明任意两个解之间差值的指数衰减。
• 推导出以线性矩阵不等式形式表示的充分条件，涉及 $ \xi_i $、$ \beta $ 以及激活函数和互连权重的界。
• 利用几乎周期函数的性质（通过博赫纳定理）确保系统系数所需的正则性与有界性。
• 将该方法应用于离散延迟系统与分布延迟系统，分别推导出显式的稳定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有时变系数和混合延迟的一般延迟动力系统会存在唯一的几乎周期解？
• RQ2 能否在不依赖先前理论中限制性假设的前提下，建立几乎周期解的全局指数稳定性？
• RQ3 如何统一框架以同时包含离散延迟、分布延迟及其组合？
• RQ4 激活函数和系统参数的最小条件是什么，可保证系统指数收敛至几乎周期解？
• RQ5 所提出的该方法能否作为特例应用于周期解和平衡点？

主要发现

• 在较弱条件下，系统 (5) 存在唯一几乎周期解，且为全局指数稳定。
• 收敛速率可量化为 $ \|u(t) - v(t)\| = O(e^{-\beta t}) $，其中 $ \beta > 0 $ 由系统参数确定。
• 对于离散延迟情形 (40)，若对某个 $ \beta > 0 $ 和正权重 $ \xi_i $，不等式 (41) 成立，则全局指数稳定性成立。
• 对于分布延迟情形 (44)，若条件 (46) 成立，且积分 $ \int_0^\infty e^{\beta s} |k_{ij}(s)| ds < \infty $，则全局指数稳定性成立。
• 该方法避免了对文献[14]中定理1.93的依赖，消除了不必要的约束，如 $ |a_{ij}(t)| > c $ 或 $ |b_{ij}(t)| > c $。
• 该结果推广并统一了以往关于具有常数或时变延迟的CNN的研究成果，包括[11]、[12]和[13]，将局部稳定性扩展为全局指数稳定性。