[论文解读] Global multipartite entanglement dynamics in Grover's search algorithm

Minghua Pan, Daowen Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文利用几何纠缠度（GME）研究了Grover算法中全局多体纠缠的动力学。证明了尺度不变性（即GME仅依赖于迭代比值 $k/k_{\text{opt}}$）仅在临界转折点之前成立；在此之后，纠缠依赖于 $n$ 和标记态的汉明权重，挑战了此前关于大 $n$ 情况下普遍尺度不变性的假设。该转折点基于标记态的数量及其汉明权重进行了解析推导。

ABSTRACT

Entanglement is considered to be one of the primary reasons for why quantum algorithms are more efficient than their classical counterparts for certain computational tasks. The global multipartite entanglement of the multiqubit states in Grover's search algorithm can be quantified using the geometric measure of entanglement (GME). Rossi {\em et al.} (Phys. Rev. A extbf{87}, 022331 (2013)) found that the entanglement dynamics is scale invariant for large $n$. Namely, the GME does not depend on the number $n$ of qubits; rather, it only depends on the ratio of iteration $k$ to the total iteration. In this paper, we discuss the optimization of the GME for large $n$. We prove that ``the GME is scale invariant'' does not always hold. We show that there is generally a turning point that can be computed in terms of the number of marked states and their Hamming weights during the curve of the GME. The GME is scale invariant prior to the turning point. However, the GME is not scale invariant after the turning point since it also depends on $n$ and the marked states.

研究动机与目标

• 研究当存在多个标记态时，Grover算法中全局多体纠缠动力学在大 $n$ 情况下是否保持尺度不变性。
• 确定几何纠缠度（GME）独立于量子比特数 $n$ 的条件，如先前对 $M=1$ 和 $M=2$ 情况所建议的那样。
• 识别并解析计算GME曲线中尺度不变性失效的转折点。
• 研究标记态结构（特别是其数量和汉明权重）在转折点之后对纠缠动力学的影响。
• 为在 $N=2^n \gg M$ 的渐近极限下GME的尺度不变性提供充分必要条件。

提出的方法

• 使用几何纠缠度（GME）作为多体纠缠的全局度量，其定义为与最近似完全可分态之间的平方距离。
• 通过在态空间上进行优化，推导出GME的解析渐近表达式，特别针对对称标记态（如乘积态、GHZ态和W态）进行分析。
• 通过求解GME偏离 $\sin^2\theta_k$ 缩放关系的时刻来确定转折点 $k_T$，其中 $\theta_k = k \cdot \theta_{\text{opt}}$，$\theta_{\text{opt}}$ 为 $k_{\text{opt}}$ 次迭代时的最优角度。
• 该方法包括在转折点前使用公式 $E(k) = \sin^2\theta_k$ 计算GME，并分析其在转折点后的偏差，该偏差依赖于 $n$ 和标记态特性。
• 对 $n=15$ 至 $35$ 和 $n=28$ 进行数值模拟，以在不同类型的标记态下验证解析结果。
• 基于标记态数量 $M$ 及其汉明权重，推导出转折点的一般公式，表明转折点依赖于标记态结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $M>1$ 个标记态存在时，Grover算法中几何纠缠度（GME）对所有 $n$ 是否都具有尺度不变性？
• RQ2 在某一特定迭代点之后，GME是否依赖于量子比特数 $n$ 和标记态结构（如汉明权重）？
• RQ3 是否可以为GME曲线中尺度不变性失效的转折点推导出一般解析表达式？
• RQ4 在何种条件下GME真正具有尺度不变性，而在何种情况下其依赖于 $n$ 和标记态特性？
• RQ5 不同对称标记态（如乘积态、GHZ态和W态）如何影响纠缠动力学及转折点的位置？

主要发现

• GME仅在临界转折点 $k_T$ 之前具有尺度不变性，此时其仅依赖于比值 $k/k_{\text{opt}}$，而不依赖于 $n$。
• 在转折点之后，GME同时依赖于量子比特数 $n$ 和标记态的具体结构，包括其汉明权重。
• 转折点 $k_T$ 可通过基于标记态数量和其汉明权重推导出的公式进行解析计算。
• 当 $n \to \infty$ 时，转折点前的最大GME渐近趋近于 $\sin^2\theta_{k_T} \approx 0.73$，其中 $k_T/k_{\text{opt}} \approx 0.653$，而最终态的GME为 $E_{\text{opt}} \approx 0.632$。
• 对 $n=28$ 的数值结果表明，产品态、GHZ态和W态的GME曲线在 $k_T/k_{\text{opt}}$ 之前一致，但在之后发生分离，具体取决于标记态结构。
• 只有当标记态使得转折点不依赖于 $n$ 时，GME才具有尺度不变性；否则，尺度不变性在 $k_T$ 之后失效，且显式依赖于 $n$ 和标记态特性。