[论文解读] Global theory of one-frequency Schrodinger operators I: stratified analyticity of the Lyapunov exponent and the boundary of nonuniform hyperbolicity

Artur Avila|ArXiv.org|May 25, 2009

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 21被引用 35

一句话总结

本文通过引入Lyapunov指数的新型“分层解析性”框架，建立了一类具有解析势的单频Schrödinger算子的全局理论。证明了临界集——Lyapunov指数从零过渡到正值的区域——的余维数至多为一，这意味着对于典型势函数，临界能量集合至多可数，因此在谱测度中可忽略。

ABSTRACT

We study Schrodinger operators with a one-frequency analytic potential, focusing on the transition between the two distinct local regimes characteristic respectively of large and small potentials. From the dynamical point of view, the transition signals the emergence of nonuniform hyperbolicity, so the dependence of the Lyapunov exponent with respect to parameters plays a central role in the analysis. Though often ill-behaved by conventional measures, we show that the Lyapunov exponent is in fact remarkably regular in a ``stratified sense'' which we define: the irregularity comes from the matching of nice (analytic or smooth) functions along sets with complicated geometry. This result allows us to stablish that the ``critical set'' for the transition has at most codimension one, so for a typical potential the set of critical energies is at most countable, hence typically not seen by spectral measures. Key to our approach are two results about the dependence of the Lyapunov exponent of one-frequency $\SL(2,\C)$ cocycles with respect to perturbations in the imaginary direction: on one hand there is a severe ``quantization'' restriction, and on the other hand ``regularity'' of the dependence characterizes uniform hyperbolicity when the Lyapunov exponent is positive. Our method is independent of arithmetic conditions on the frequency.

研究动机与目标

• 开发一类具有解析势的单频Schrödinger算子的全局理论，克服在理解亚临界与超临界区域之间过渡时的局限性。
• 分析非一致双曲性的边界，即Lyapunov指数从零过渡到正值的区域，该区域对谱类型分类至关重要。
• 通过引入新的分层解析性概念，刻画Lyapunov指数的正则性，尽管其在常规测度下看似行为异常。
• 证明临界集——Lyapunov指数为零但系统处于非一致双曲性边缘的区域——在参数空间中的余维数至多为一，意味着典型谱测度不会检测到它。

提出的方法

• 引入一种新的‘分层解析性’概念，以描述Lyapunov指数作为在具有复杂几何结构的集合上匹配的解析函数的并集。
• 运用SL(2,ℂ)-cocycles的两个关键结果：虚部扰动下的量化限制，以及在Lyapunov指数为正时通过其正则性表征一致双曲性。
• 将这些结果应用于与Schrödinger算子相关的转移矩阵cocycles，利用势函数的解析性与无理频率。
• 利用Aubry-André对偶性及转移矩阵的复解析延拓，区分亚临界（一致亚指数增长）与临界（非一致增长）区域。
• 利用cocycles的加速度（拓扑度）对区域进行分类，并证明：当Lyapunov指数为零但加速度非零时，蕴含非一致双曲性。
• 利用Lyapunov指数与加速度在小实扰动下的上半连续性与连续性，证明临界集包含于低余维子流形中。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管Lyapunov指数在标准测度下看似不规则，如何对其进行正则化？
• RQ2 在谱中，Lyapunov指数为零的能量集合（即临界集）的几何与拓扑结构如何？
• RQ3 亚临界与超临界区域之间的过渡——以非一致双曲性的出现为标志——如何在全球范围内表现？
• RQ4 能否证明临界集在谱测度中可忽略？在何种条件下成立？
• RQ5 虚方向扰动在约束Lyapunov指数与加速度行为方面起什么作用？

主要发现

• Lyapunov指数表现出‘分层解析性’，即在分层结构的每个流形上，其局部为某个解析函数的限制，尽管整体函数未必是解析的。
• 临界集——Lyapunov指数为零但系统处于非一致双曲性边缘的区域——在参数空间中的余维数至多为一。
• 对于典型解析势，临界能量集合至多可数，意味着其通常不会被谱测度检测到。
• 虚部扰动下加速度的量化对Lyapunov指数可能的行为施加了严重限制。
• Lyapunov指数在虚方向上的正则性，表征了当指数为正时的一致双曲性。
• 结果无需频率的算术条件，因此适用于一大类单频Schrödinger算子。