[论文解读] Global Transonic Solutions to Combined Fanno Rayleigh Flows Through Variable Nozzles

Shih-Wei Chou, John M. Hong+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2016

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文通过一种新型广义Glimm格式（GGS）结合改进的Riemann解与边界Riemann解，建立了变截面喷管中联合Fanno-Rayleigh流的全局跨音速熵解的存在性，特别针对收缩喷管。该方法确保了稳定性、速度的正性以及熵的满足，并给出了一个定量条件，将喷管几何形状、摩擦与加热效应联系起来，使得在特定参数阈值下全局弱解存在。

ABSTRACT

In this paper, we study the initial-boundary value problem of compressible Euler equations with friction and heating that model the combined Fanno-Rayleigh flows through symmetric variable area nozzles, in particular, the case of contracting nozzles is considered. A new version of a generalized Glimm scheme (GGS) is presented for establishing the global existence of transonic entropy solutions. Modified Riemann and boundary Riemann solutions are applied to design this GGS which obtained by the contraction matrices acting on the homogeneous Riemann (or boundary-Riemann) solutions. The extended Glimm-Goodman wave interaction estimates are investigated for ensuring the stability of the scheme and the positivity of gas velocity that leads to the existence of the weak solution. The limit of approximation solutions serves as an entropy solution. Moreover, a quantitative relation between the shape of the nozzle, the friction, and the heat is proposed. Under this relation, the global existence of weak solution for contracting nozzle is achieved. Simulations of contraction-expansion and expansion-contraction nozzles are presented to illustrate the relevant theoretical results.

研究动机与目标

• 解决在具有摩擦与加热效应的收缩喷管中，可压缩Euler方程全局跨音速解存在性这一长期悬而未决的开放问题。
• 提出一种新型广义Glimm格式（GGS），通过在齐次Riemann解中引入收缩矩阵，以处理波的相互作用与边界条件。
• 建立充分条件——即喷管形状、摩擦系数 $ \alpha $ 与加热参数 $ \beta $ 之间的定量关系——以确保全局弱解的存在。
• 通过数值模拟验证理论结果，模拟收缩-扩张与扩张-收缩喷管在不同摩擦与加热参数下的行为。

提出的方法

• 通过在齐次Riemann解与边界Riemann解中应用收缩矩阵，构建了一种新型广义Glimm格式（GGS），以模拟变截面喷管中的波相互作用。
• 该格式采用扩展的Glimm-Goodman波相互作用估计，以确保稳定性并保持气体速度的正性，这对跨音速流的存在性至关重要。
• 系统建模为双曲平衡律 $ U_t + F(U)_x = G(x,U) $，其中源项代表截面变化、摩擦（$ \alpha $）与加热（$ \beta q(x) $）效应。
• 初始条件与边界条件设定在声速状态附近，$ U_0(x) $ 与 $ U_B(t) $ 定义在声速过渡曲线 $ \mathcal{T} $ 的邻域内。
• 对Riemann问题与边界Riemann问题进行修改，以考虑变截面效应，确保与喷管几何形状的相容性。
• 通过不同网格尺寸 $ \Delta x = 0.1, 0.05, 0.01, 0.005 $，在不同 $ \alpha $ 与 $ \beta $ 条件下进行数值模拟，以验证解的行为与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有摩擦与加热效应的收缩喷管中，联合Fanno-Rayleigh流的全局跨音速熵解在何种条件下存在？
• RQ2 如何将广义Glimm格式适配于非均匀截面的变截面喷管，并处理靠近声速状态的边界条件？
• RQ3 喷管几何形状、摩擦系数 $ \alpha $ 与加热参数 $ \beta $ 之间需满足何种定量关系，才能保证全局弱解的存在？
• RQ4 摩擦与加热如何影响收缩-扩张与扩张-收缩喷管中激波的传播，以及密度、速度与马赫数的分布？
• RQ5 数值模拟能否证实所推导条件下跨音速解的理论存在性与稳定性？

主要发现

• 当 $ \max_{x\in[1,10]}\left(\frac{7-\gamma}{3}h_1^+(x)u_0(x) + \frac{4}{3}h_2^+(x)u_0(x) - \frac{\gamma(\gamma-1)}{\rho_0(x)c_0^2(x)}\beta q(x,0)\right) < 0 $ 成立时，若 $ \alpha > 0.066743 $ 且 $ \beta > 0 $，则收缩喷管中存在全局跨音速熵解。
• 对于收缩-扩张喷管，当 $ \alpha > 0.022028 $ 且 $ \beta > 0 $ 时，解仍保持全局定义，且在 $ \Delta x = 0.1 $ 至 $ 0.005 $ 的范围内观察到数值收敛。
• 摩擦系数 $ \alpha $ 越大，动量与马赫数越小，密度分布越向喷管入口侧（左侧）偏移，尤其在收缩区表现明显。
• 加热参数 $ \beta $ 越大，动量减小但总能量与压力增大，导致密度分布远离喷管中心，尤其在扩张区更为显著。
• 数值模拟表明，激波前峰在喷管中传播稳定，且在更高摩擦下波速减小，在更高加热下波速增大。
• 收缩-扩张与扩张-收缩喷管的对比显示，收缩区的密度与动量更高，扩张区更低，与物理直觉一致。