[论文解读] Global Uniqueness and Solvability for Tensor Complementarity Problems

Xueli Bai, Zheng‐Hai Huang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文通过构造两个反例，对 Song 和 Qi（2015）的第6.3问给出了否定回答，表明 P 张量并不能保证张量互补问题（TCPs）的全局唯一性与可解性（GUS）性质。为解决此问题，作者提出了强 P 张量的概念，证明具有强 P 张量的 TCP 确实具备 GUS 性质，并进一步证明了当张量为 P 张量时，TCP 的解集非空且紧致。

ABSTRACT

Recently, the tensor complementarity problem (TCP for short) has been investigated in the literature. An important question involving the property of global uniqueness and solvability (GUS-property) for a class of TCPs was proposed by Song and Qi in their paper "Properties of Some Classes of Structured Tensors". In the present paper, we give an answer to this question by constructing two counter-examples. We also show that the solution set of this class of TCPs is nonempty and compact. In particular, we introduce a class of related structured tensors, and show that the corresponding TCP has the GUS-property.

研究动机与目标

• 为解决 Song 和 Qi（2015）提出的第6.3问，即：当且仅当张量为 P 张量时，TCP 是否具有 GUS 性质？
• 研究当张量为 P 张量时，TCP 解集的结构特征。
• 识别出一个比 P 张量更广的张量类，使得 TCP 具有 GUS 性质。
• 引入强 P 张量并分析其作为 TCP 中 GUS 性质的充分条件的性质。

提出的方法

• 通过构造两个显式的反例，证伪了‘P 张量蕴含 TCP 中的 GUS 性质’的猜想。
• 利用互补系统上的拓扑与代数论证，证明当 A 为 P 张量时，TCP(q, A) 的解集非空且紧致。
• 通过张量映射差值的严格不等式条件定义强 P 张量，将非线性互补问题中的 P 函数概念进行推广。
• 通过构造一个不满足强 P 条件的 P 张量，证明强 P 张量类是 P 张量类的真子集。
• 分析强 P 张量的性质，包括严格半正定性、R-张量性质、正的 H-和 Z-特征值，以及正对角线元素。
• 证明任一强 P 张量的主子张量也均为强 P 张量，从而保证其结构一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量互补问题（TCP）的全局唯一性与可解性（GUS）性质是否当且仅当张量为 P 张量时成立？
• RQ2 当张量为 P 张量时，TCP 的解集具有何种性质？
• RQ3 是否存在一个比 P 张量更广的张量类，使得 TCP 具有 GUS 性质？
• RQ4 强 P 张量具有哪些结构性质？其与 P 张量之间有何关系？

主要发现

• ‘P 张量蕴含 TCP 的 GUS 性质’的猜想是错误的，两个反例表明存在 P 张量导致多个解。
• 当 A 为 P 张量时，TCP(q, A) 的解集非空且紧致，确立了其基本的拓扑性质。
• 强 P 张量类是 P 张量类的真子集，通过一个不满足强 P 条件的特定 P 张量得以证明。
• 每个强 P 张量均为严格半正定，是 R-张量，且所有 H-和 Z-特征值均为正。
• 强 P 张量的所有对角线元素均为正，且其任意主子张量也均为强 P 张量。
• 当 A 为强 P 张量时，TCP(q, A) 具有 GUS 性质，从而为唯一性与可解性提供了充分条件。