[论文解读] Global uniqueness for the semilinear fractional Schrödinger equation

Ru-Yu Lai, Yi‐Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2017

Numerical methods in inverse problems参考文献 9被引用 6

一句话总结

该论文通过部分外部柯西数据，建立了分数次半线性薛定谔方程 $ (-\nabla)^s u + q(x,u) = 0 $ 中非线性系数 $ q(x,u) $ 的全局唯一性。利用线性化方法与非局部 Calderón 问题框架，证明了当柯西数据集在外部区域的非空相对开子集上一致时，对所有维度 $ n \geq 2 $，均有 $ q_1(x,u) = q_2(x,u) $ 在 $ \Omega $ 内成立。

ABSTRACT

We study global uniqueness in an inverse problem for the fractional semilinear Schrödinger equation $(-Δ)^{s}u+q(x,u)=0$ with $s\in (0,1)$. We show that an unknown function $q(x,u)$ can be uniquely determined by the Cauchy data set. In particular, this result holds for any space dimension greater than or equal to $2$. Moreover, we demonstrate the comparison principle and provide a $L^\infty$ estimate for this nonlocal equation under appropriate regularity assumptions.

研究动机与目标

• 解决分数次半线性薛定谔方程在部分外部数据下的全局唯一性逆问题。
• 将经典的 Calderón 问题推广至涉及分数阶拉普拉斯算子 $ (-\nabla)^s $，$ s \in (0,1) $ 的非局部与非线性情形。
• 从柯西数据集 $ \mathcal{C}_q^{\Omega_e} $（由外部区域上的 Dirichlet 与非局部 Neumann 数据定义）中建立非线性系数 $ q(x,u) $ 的唯一性。
• 将先前针对线性分数次薛定谔方程的唯一性结果推广至满足特定正则性与单调性条件的一般非线性情形。

提出的方法

• 围绕外部 Dirichlet 数据的小扰动对应的解，对分数次半线性方程进行线性化。
• 对参数 $ \eta $ 求导柯西数据，得到包含 $ \partial_t q(x,u) $ 的线性化非局部方程。
• 利用非局部 Neumann 导数 $ \mathcal{N}_q^s u $ 与线性化问题的 Dirichlet-to-Neumann (DN) 映射比较系数。
• 应用线性分数次薛定谔方程的全局唯一性结果（见文献 [6]），得出在 $ \Omega $ 内 $ \partial_t q_1(x,u^{(1)}_g) = \partial_t q_2(x,u^{(2)}_g) $。
• 通过非局部方程的适定性与最大值原理，建立线性化解的唯一性。
• 利用线性化解的恒等性，推导出原解之差为 $ \mathbb{R}^n $ 上的调和函数，该函数因唯一延拓性质而恒为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 分数次半线性薛定谔方程中的非线性系数 $ q(x,u) $ 是否能从部分外部柯西数据中唯一确定？
• RQ2 线性分数次薛定谔方程的全局唯一性结果是否可推广至具有一般非线性的半线性情形？
• RQ3 对 $ q(x,u) $ 需施加何种条件，以确保线性化系数 $ \partial_t q(x,u) $ 可从 DN 映射中恢复？
• RQ4 在非局部非线性设置下，逆问题的解是否对柯西数据的小扰动具有稳定性？

主要发现

• 即使在非空相对开子集 $ W \subset \partial\Omega_e $ 上仅有部分数据，非线性系数 $ q(x,u) $ 仍由柯西数据集 $ \mathcal{C}_q^{\Omega_e} $ 唯一确定。
• 通过线性化方程的 DN 映射，证明了对所有 $ g \in C_0^3(W) $，有 $ \partial_t q_1(x,u^{(1)}_g) = \partial_t q_2(x,u^{(2)}_g) $ 在 $ \Omega $ 内成立。
• 线性化方程的解完全一致：$ \dot{u}^{(1)}_{g,h} = \dot{u}^{(2)}_{g,h} $ 在 $ H^s(\mathbb{R}^n) $ 中成立，意味着原解之差为与 Dirichlet 数据无关的函数 $ \psi $。
• 由解之差产生的函数 $ \psi $ 满足 $ \psi = (-\Delta)^s \psi = 0 $ 在 $ W \subset \Omega_e $ 上，故由唯一延拓性可得 $ \psi \equiv 0 $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上。
• 因此，$ u^{(1)}_g = u^{(2)}_g $ 在 $ \mathbb{R}^n $ 上成立，代入原方程后得到对所有 $ x \in \Omega $，有 $ q_1(x,u) = q_2(x,u) $。
• 在 $ n \geq 2 $ 的所有空间维度下，该结果成立，前提是 $ q(x,t) $ 与 $ \partial_t q(x,t) $ 连续，$ q(x,t)/t \to 0 $ 当 $ t \to 0 $，且 $ \partial_t q \geq 0 $ 并满足适当的增长界。