[论文解读] Global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation

Ovidiu Savin|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2011

Geometry and complex manifolds参考文献 3被引用 7

一句话总结

该论文在自然的边界和区域正则性假设下，为凸区域上Monge-Ampère方程的解建立了全局$W^{2,p}$估计。通过利用边界附近截面的局部化定理以及Vitali型覆盖论证，作者证明了当解在边界处相对于其切平面呈二次分离，且右边$f$具有小对数振幅时，全局$W^{2,p}$有界性对所有$p < \infty$一致成立。

ABSTRACT

We obtain global $W^{2,p}$ estimates for the Monge-Ampere equation under natural assumptions on the domain and boundary data.

研究动机与目标

• 为凸区域上的Monge-Ampère方程建立全局$W^{2,p}$正则性估计，将内部估计推广至整个区域。
• 识别确保Hessian矩阵全局$W^{2,p}$可积性的区域边界与边界数据的精确、自然条件。
• 证明解$u$在$\partial\Omega$上相对于其切平面的二次分离性，以及$f$的小对数振幅，足以保证全局$W^{2,p}$有界性。
• 通过几何局部化与覆盖技术，将已知的内部$W^{2,p}$估计扩展至全局设定。

提出的方法

• 利用一个局部化定理（定理1.5），表明在边界点处，$u$的截面在二次边界增长下等价于半椭球体。
• 应用缩放论证，将全局估计转化为通过变换方程$\det D^2\tilde{u} = \tilde{f}$在模型截面上的统一有界性。
• 采用Vitali型覆盖引理，选取互不相交的截面$S_{\delta \bar{h}_i}(y_i)$，使得$\Omega \subset \bigcup_i S_{\bar{h}_i/2}(y_i)$，从而控制重叠。
• 在归一化截面$\tilde{S}_1(0)$中应用缩放解$\tilde{u}$的内部$W^{2,p}$估计，其中$\log \tilde{f}$具有小振幅。
• 应用变换$\tilde{u}(x) = \frac{1}{\bar{h}} u(y + \bar{h}^{1/2} A^{-1}x)$，将$D^2 u$与$D^2 \tilde{u}$关联，从而控制Hessian矩阵的$L^p$范数。
• 对 dyadic 截面族（$\bar{h}_i \in (c_1 2^{-k-1}, c_1 2^{-k}]$）的$L^p$有界性求和，得到一个收敛级数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在区域与边界数据的最小几何与正则性假设下，解$u$满足$\det D^2 u = f$何时属于全局$W^{2,p}(\Omega)$？
• RQ2 当右边$f$具有小对数振幅，且解在边界处表现出相对于切平面的二次分离性时，能否获得全局$W^{2,p}$估计？
• RQ3 解$u$在$\partial\Omega$处的二次分离条件对于$W^{2,p}$正则性是否最优？是否可进一步弱化？
• RQ4 如何利用边界附近截面的局部化，将内部正则性估计推广至全局$W^{2,p}$设定？

主要发现

• 在$C^{1,1}$边界、$C^{1,1}$边界数据以及$u$在$\partial\Omega$上相对于其切平面呈二次分离的假设下，对所有$p < \infty$，全局$W^{2,p}$有界性成立。
• 在$W^{2,p}$有界性中的常数$C$依赖于$\|\partial\Omega\|_{C^{1,1}}$、$\|u|_{\partial\Omega}\|_{C^{1,1}}$、$\|u\|_{C^{0,1}}$、$\rho$、$\lambda$、$\Lambda$、$p$和$n$。
• 若$f \in C(\overline{\Omega})$，且$u|_{\partial\Omega}, \partial\Omega \in C^3$，且$\Omega$具有严格凸性，则对所有$p < \infty$，有$u \in W^{2,p}(\Omega)$。
• $L^p$范数在每个截面$S_{\bar{h}_i/2}(y_i)$上的$D^2 u$有界于$C |\log \bar{h}_i|^{2p} \bar{h}_i^{n/2}$，且当$\bar{h}_i \to 0$时该量衰减。
• 对 dyadic 层状截面族的求和产生收敛的总$L^p$范数，从而证明了全局估计。
• 假设条件是最优的：Wang的反例表明，若将$u \in C^{2,1}$或$\partial\Omega \in C^{2,1}$的条件放松，则对大$p$，$W^{2,p}$有界性将不成立。