[论文解读] Global weak solutions to 3D compressible Primitive equations with density-dependent viscosity

Fengchao Wang, Changsheng Dou+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用 8

一句话总结

该论文在周期域中建立了具有密度依赖粘性系数的三维可压缩原始方程的有限能量弱解的全局存在性。通过引入一种新颖的逼近方法，将垂直速度表示为密度和水平速度的函数，并结合Bresch-Devriendt熵估计与紧致性论证，作者克服了真空区域处粘性系数退化的问题，证明了对大初值解的存在性。

ABSTRACT

This paper is devoted to investigating the global existence of weak solutions for the compressible primitive equations (CPE) with damping term in a three-dimensional torus for large initial data. The system takes into account density-dependent viscosity. In our proof, we represent the vertical velocity as a function of the density and the horizontal velocity which will play a role to use the Faedo-Galerkin method to obtain the global existence of the approximate solutions. Motivated by Vasseur and Yu [yucheng2016], we obtain the key estimates of lower bound of the density, the Bresch-Desjardin entropy on the approximate solutions. Based on these estimates, using compactness arguments, we prove the global existence of weak solutions of CPE by vanishing the parameters in our approximate system step by step.

研究动机与目标

• 建立三维可压缩原始方程在密度依赖粘性系数下的弱解全局存在性。
• 解决真空区域处粘性系数退化带来的挑战，该问题导致无法对速度进行标准能量估计。
• 将Faedo-Galerkin逼近框架推广至具有密度依赖粘性系数与静力平衡的系统。
• 证明对大初值解的存在性，克服退化情况下正则性与紧致性不足的问题。
• 将先前针对不可压缩或常数粘性原始方程的结果推广至可压缩、密度依赖的黏性情形。

提出的方法

• 引入带人工粘性、阻尼项和密度截断的正则化近似系统，以处理退化问题。
• 将垂直速度 $ v $ 表示为密度 $ ho $ 和水平速度 $ u $ 的函数，从而实现近似系统的闭合。
• 应用Faedo-Galerkin方法构造满足动量方程与连续性方程的近似解。
• 通过改进的Bresch-Devriendt熵估计建立密度的下界，这对于处理真空区域至关重要。
• 利用紧致性论证（通过弱收敛与强收敛）在逼近参数极限下取极限：$ \rho \to 0 $，$ \nu \to 0 $，$ r \to 0 $。
• 采用变量变换 $ z = 1 - e^{-y} $ 将物理区域变换，以在极限下保持可积性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意大初值，三维可压缩原始方程在密度依赖粘性系数下是否存在全局弱解？
• RQ2 当粘性系数在真空区域退化时，如何构造近似解，从而阻止对速度的标准 $ L^2 $ 估计？
• RQ3 Bresch-Devriendt熵估计能否被适配至可压缩、密度依赖的情形，以控制密度的下界？
• RQ4 是否可能在不假设初值小或粘性系数恒定的条件下，从近似系统中取极限？
• RQ5 为在极限下恢复原系统，需要哪些变换与紧致性工具？

主要发现

• 对于任意大初值，三维可压缩原始方程在密度依赖粘性系数下存在全局弱解。
• 作者通过改进的Bresch-Devriendt熵估计建立了密度的统一下界，这对处理真空区域至关重要。
• 垂直速度由密度与水平速度重构，使得Faedo-Galerkin逼近能够闭合系统。
• 能量与熵不等式在极限下保持不变，确保弱解满足物理能量平衡与B-D熵结构。
• 解满足正则性：$ \rho^{1/2}u \to L^\frown(0,T;L^2) $，$ \rho^{1/3}u \to L^3(0,T;L^3) $，以及 $ \rho^{1/2}\nabla_x \rho^{1/2} \to L^\frown(0,T;L^2) $。
• 该结果将先前的结果推广至可压缩、密度依赖的情形，解决了三维空间中的一个开放问题。