[论文解读] Good quantum LDPC codes with linear time decoder from lossless expanders

Ting-Chun Lin, Min-Hsiu Hsieh|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新型好量子LDPC码的构造方法，利用具有自由群作用的双侧无损膨胀图，实现了恒定码率和线性距离。关键贡献是一种线性时间译码器，通过基于校验更新迭代翻转顶点来高效纠正错误，利用膨胀图的独特扩展性质确保正确性和效率。

ABSTRACT

Quantum low-density parity-check (qLDPC) codes are quantum stabilizer codes where each stabilizer acts on a constant number of qubits and each qubit is acted on by a constant number of stabilizers. We study qLDPC codes constructed from balanced products and lossless expanders. We found that assuming the existence of 2-sided lossless expander graphs with free group action, the resulting qLDPC codes have constant rate, linear distance, and linear time decoders.

研究动机与目标

• 通过基于结构化图的方法构造具有恒定码率和线性距离的优良量子LDPC码。
• 解决为量子LDPC码实现线性时间译码的挑战，该问题仍是主要开放问题。
• 利用具有自由群作用的双侧无损膨胀图的组合性质，确保码的鲁棒性和高效译码。
• 通过平衡积框架统一并扩展先前的量子LDPC码构造方法。
• 对一种基于局部更新逐步减少校验权重的线性时间译码器提供严格的分析。

提出的方法

• 通过两个具有自由群作用的一维图的笛卡尔积构建二维图结构，随后在对角作用下取商。
• 使用双侧无损膨胀图为构建模块，以确保强扩展性和局部树状结构。
• 对二维图应用平衡积构造，通过链复形定义量子码：$\mathbb{F}_2^{V_{00}} \to \mathbb{F}_2^{V_{10}} \oplus \mathbb{F}_2^{V_{01}} \to \mathbb{F}_2^{V_{11}}$。
• 设计一种基于校验的译码器，维护一个候选翻转顶点列表，并在每次翻转后局部更新校验。
• 利用无损膨胀图的唯一扩展性质，保证每次翻转均减少校验权重，从而确保收敛。
• 实现预处理步骤以维护一个动态的可翻转顶点列表，实现每次迭代$O(1)$时间，整体时间复杂度为线性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用具有自由群作用的双侧无损膨胀图构造出具有恒定码率和线性距离的优良量子LDPC码？
• RQ2 在这些膨胀图上使用平衡积构造是否能产生具有足够距离和高效译码的码？
• RQ3 能否通过利用局部结构和扩展性质设计出此类码的线性时间译码器？
• RQ4 无损膨胀图的唯一扩展性质如何确保译码器收敛到正确的码字？
• RQ5 译码器的时间复杂度是多少？是否能在线性时间内以错误数为基准进行界定？

主要发现

• 假设存在具有自由群作用的双侧无损膨胀图，所构造的量子LDPC码可实现恒定码率和线性距离。
• 平衡积构造确保码距离为$\Omega(n)$，突破了早期构造中$\Omega(\sqrt{n})$的限制。
• 所提出的译码器运行时间相对于校验数为线性，而校验数与错误数成线性关系，实现$O(|c_1|)$的运行时间。
• 译码器通过逐步减少校验权重，正确识别并纠正原始错误，其正确性由小集LTC引理和唯一扩展性质保证。
• 由于度数有界且更新规则局部化，每次迭代的时间复杂度为常数，从而实现整体线性时间性能。
• 该构造通过采用新颖的链复形结构$\mathbb{F}_2^{V_{00}} \to \mathbb{F}_2^{V_{10}} \oplus \mathbb{F}_2^{V_{01}} \to \mathbb{F}_2^{V_{11}}$统一并推广了先前的方法。