[论文解读] Graded Projected Entangled-Pair State Representations and An Algorithm for Translationally Invariant Strongly Correlated Electronic Systems on Infinite-Size Lattices in Two Spatial Dimensions

Qian‐Qian Shi, Sheng-Hao Li+2 more|ArXiv.org|Jul 31, 2009

Theoretical and Computational Physics被引用 14

一句话总结

本文提出了一种分级投影纠缠对态（gPEPS）算法，用于在无限二维晶格上模拟具有平移不变性的强关联电子系统，通过分级超空间形式实现费米子系统的符号处理。该算法成功定位了二维 $t-J$ 模型中的相分离线，并在 $J=0.4t$ 和四分之一填充时识别出扩展的 $s$-波超导性，但结果受限于较小的截断维数（$bD ≤ 6$）。

ABSTRACT

An algorithm to find a graded Projected Entangled-Pair State representation of the ground state wave functions is developed for translationally invariant strongly correlated electronic systems on infinite-size lattices in two spatial dimensions. It is tested for the two-dimensional t-J model at and away from half filling, with truncation dimensions up to 6. We are able to locate a line of phase separation, which qualitatively agrees with the results based on the high-temperature expansions. We find that the model exhibits an extended s-wave superconductivity for J=0.4t at quarter filling. However, we emphasize that the currently accessible truncation dimensions are not large enough, so it is necessary to incorporate the symmetry of the system into the algorithm, in order to achieve results with higher precision.

研究动机与目标

• 开发一种数值高效的算法，用于模拟无限二维晶格上平移不变性的强关联电子系统的基态波函数。
• 通过引入分级超空间形式，解决张量网络方法中的费米子符号问题。
• 利用gPEPS表示法，实现对 $t-J$ 模型在半满及偏离半满时的精确模拟。
• 在有限截断维数下，测试该算法在 $t-J$ 模型中相分离与超导性的表现性能。
• 识别由于截断维数较小带来的局限性，并倡导引入对称性以提升精度。

提出的方法

• 该算法采用分级投影纠缠对态（gPEPS）表示，结合宇称分级的希尔伯特空间，以处理费米子的反对易性。
• 通过算符 $\exp(-H\tau)$ 的虚时演化，从随机初始态投影出基态。
• gPEPS 通过投影张量 $W^s_{lrud}$ 构建，该张量将纠缠的辅助空间映射到物理位点，具有分级超空间结构。
• 采用四格点扫掠程序更新张量，通过迭代更新环境张量以保持精度。
• 该算法采用四格点门更新方案，用于模拟 $t-J$ 模型中的局部哈密顿量项。
• 截断维数 $\mathbb{D}$ 最高达 6，结果通过与 QMC 和小体系精确对角化方法进行基准对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限截断维数下，gPEPS 算法能否准确模拟平移不变性二维费米子系统的基态性质？
• RQ2 该算法是否能正确识别二维 $t-J$ 模型中的相分离，特别是在低电子密度区域？
• RQ3 在 $J=0.4t$ 和四分之一填充时，$t-J$ 模型中超导配对的性质是什么？
• RQ4 结果如何依赖于截断维数 $\mathbb{D}$，对称性对精度的影响如何？
• RQ5 在当前计算限制下，该算法能否检测到扩展的 $s$-波超导性？

主要发现

• 该算法成功定位了二维 $t-J$ 模型中的相分离线，在低电子密度下临界 $J_c \approx 3.43$，与高温展开结果一致。
• 在 $J=0.4t$ 和四分之一填充（$n=0.4968$）时，系统表现出扩展的 $s$-波超导性，配对序参数为 $\langle \Delta \rangle = 0.083 + 0.11i$，且 $\mathbb{D}=6$ 时每格点基态能量为 $e = -0.9498$。
• 在 $J=3.0$ 和 $n=0.1273$ 时，观察到较小的配对序参数 $\langle \Delta \rangle = 0.010 + 0.055i$，表明在多个区域可能存在超导倾向。
• 在半满时（$n=1$），$\mathbb{D}=4$ 下基态能量为 $e = -1.1675J$，接近 QMC 结果 $-1.1680J$，验证了方法的准确性。
• 该算法的性能受限于较小的截断维数，表现为均匀相区结果不明确，且需引入对称性以提升精度。
• 结果表明，增大 $\mathbb{D}$ 并引入对称性将显著提升精度，尤其对反铁磁序和超导序参数的计算具有重要意义。