[论文解读] Graph Clustering using Effective Resistance

Vedat Levi Alev, Nima Anari+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，通过仅移除边权的常数比例，将加权无向图进行划分，确保每个结果聚类的有效电阻直径有界——具体而言，至多为平均加权度的倒数的 δ³ 倍。该方法建立了一种有效电阻与低导出集之间的新联系，表明大有效电阻意味着存在低导出割，从而可在不损失近似质量的对数因子的前提下实现高效分解。

ABSTRACT

$ \def\vecc#1{\boldsymbol{#1}} $We design a polynomial time algorithm that for any weighted undirected graph $G = (V, E,\vecc w)$ and sufficiently large $δ> 1$, partitions $V$ into subsets $V_1, \ldots, V_h$ for some $h\geq 1$, such that $\bullet$ at most $δ^{-1}$ fraction of the weights are between clusters, i.e. \[ w(E - \cup_{i = 1}^h E(V_i)) \lesssim \frac{w(E)}δ;\] $\bullet$ the effective resistance diameter of each of the induced subgraphs $G[V_i]$ is at most $δ^3$ times the average weighted degree, i.e. \[ \max_{u, v \in V_i} \mathsf{Reff}_{G[V_i]}(u, v) \lesssim δ^3 \cdot \frac{|V|}{w(E)} \quad ext{ for all } i=1, \ldots, h.\] In particular, it is possible to remove one percent of weight of edges of any given graph such that each of the resulting connected components has effective resistance diameter at most the inverse of the average weighted degree. Our proof is based on a new connection between effective resistance and low conductance sets. We show that if the effective resistance between two vertices $u$ and $v$ is large, then there must be a low conductance cut separating $u$ from $v$. This implies that very mildly expanding graphs have constant effective resistance diameter. We believe that this connection could be of independent interest in algorithm design.

研究动机与目标

• 解决现有图分解方法在一般图中产生 Ω(log n) 近似损失的局限性。
• 设计一种利用有效电阻直径作为结构属性避免对数因子的分解算法。
• 证明可通过仅移除常数比例的边权，将图划分为有效电阻直径有界的组件。
• 建立有效电阻与图导出性之间的理论联系，证明适度扩张意味着小的有效电阻直径。

提出的方法

• 该算法通过递归识别度数较低的顶点并移除其关联边，直到所有剩余顶点满足最小度阈值。
• 它使用谱技术寻找具有高有效电阻的顶点对，并通过低导出割将它们分离。
• 关键组件是推论 2，其基于适度扩张假设，保证当有效电阻较大时，存在低导出割。
• 采用分摊的基于令牌的计费机制，以限制递归过程中切割的总边权，确保仅移除 O(1/δ) 比例的总边权。
• 该算法根据目标电阻直径 R 和边权阈值 W 动态调整参数，优化 δ 以控制边损失。
• 该方法确保每个最终聚类的有效电阻直径至多为 O(δ³ · n/w(E))，在聚类质量与边损失之间实现近乎最优的权衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将有效电阻直径作为聚类准则，实现子对数近似损失的图分解？
• RQ2 图中是否存在高有效电阻与低导出割之间的可证明联系？
• RQ3 该分解能否在近乎线性时间内计算，并对随机生成生成树有实际用途？
• RQ4 有界有效电阻直径是否能加速唯一性游戏或其他 NP-难问题的算法？
• RQ5 该结果能否推广到 k-划分情形，使得所有跨聚类割均稀疏？

主要发现

• 该算法最多移除 O(w(E)/δ) 的边权，将图划分为聚类，每个聚类的有效电阻直径至多为 O(δ³ · n/w(E))。
• 对于任意 δ > 1，该方法保证仅损失总边权的 δ⁻¹ 比例，实现与 n 无关的常数因子边损失。
• 关键理论洞见是：若所有小集合均具有适度扩张（Φ(S) ≥ c / vol(S)^{1/2−ε}），则任意两顶点间有效电阻有界于 O(1/εc²) · (1/deg(s)^{2ε} + 1/deg(t)^{2ε})。
• 该证明表明，大有效电阻意味着存在低导出割，从而将电网络理论与图扩张性质联系起来。
• 该算法运行时间为 Õ(mn log(w(E)/min_e w(e)))，适用于大规模图的实际部署。
• 该结果意味着，即使图无法通过移除常数比例的边分解为常数扩张图，也可分解为具有类似扩张‘电学’性质的组件。