[论文解读] Graph complexity and Mahler measure

Daniel S. Silver, Susan G. Williams|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2017

Cellular Automata and Applications参考文献 1被引用 8

一句话总结

本文建立了图复杂度（定义为图的拉普拉斯群的挠子群的阶）与d周期图的拉普拉斯多项式的Mahler测度之间的深层联系。结果表明，该多项式的Mahler测度等于其有限商图中复杂度的指数增长速率，并证明了关于整系数多项式最小Mahler测度的Lehmer猜想，等价于一个关于±1边权的1周期图中复杂度增长的问题。

ABSTRACT

The (torsion) complexity of a finite edge-weighted graph is defined to be the order of the torsion subgroup of the abelian group presented by its Laplacian matrix. When G is d-periodic (i.e., G has a free action of the rank-d free abelian group by graph automorphisms, with finite quotient) the Mahler measure of its Laplacian determinant polynomial is the growth rate of the complexity of finite quotients of G. Lehmer's question, an open question about the roots of monic integral polynomials, is equivalent to a question about the complexity growth of edge-weighted 1-periodic graphs.

研究动机与目标

• 通过拉普拉斯矩阵的挠子群阶来定义并研究有限边加权图的（挠）复杂度。
• 利用拉普拉斯行列式多项式的Mahler测度，将该复杂度扩展到d周期图。
• 建立Mahler测度量化d周期图有限商图中复杂度的指数增长速率。
• 证明Lehmer关于整系数多项式最小Mahler测度的猜想，等价于关于±1边权的1周期图中复杂度增长的问题。
• 为无权d周期图提供新结果，包括复杂度增长速率的界以及格图的渐近行为。

提出的方法

• 为有限边加权图定义拉普拉斯矩阵 $ L_G $，并利用其计算挠子群阶，从而定义（挠）复杂度 $ \kappa_G $。
• 对于d周期图，使用变量 $ x_1^{\pm 1}, \dots, x_d^{\pm 1} $ 定义拉普拉斯算子，并将拉普拉斯多项式 $ D_G $ 定义为 $ L_G $ 的行列式。
• 应用文献[28]中的主要结果，将Mahler测度 $ M(D_G) $ 与 $ G $ 的有限商图 $ G_\lambda $ 的 $ \kappa_{G\lambda} $ 的指数增长速率相等。
• 利用矩阵-树定理和余子式性质，将 $ \kappa_G $ 与 $ L_G $ 的主余子式绝对值相关联，尤其在 $ \tau_G = 0 $ 时。
• 应用Alon定理于正则图，以界定有限商图的树复杂度 $ \tau_{G_\lambda} $，并推导增长速率的渐近行为。
• 利用三角恒等式和积分表示，计算1周期图中两个边轨道的 $ \log M(D_{G'}) $，证明 $ \log M(D_{G'}) \geq \log 2 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 d周期图的拉普拉斯多项式的Mahler测度与其有限商图中复杂度增长速率有何关系？
• RQ2 Lehmer猜想是否等价于关于±1边权的1周期图中最小复杂度增长速率的问题？
• RQ3 当 $ d \to \infty $ 时，d维格图 $ \mathbb{G}_d $ 的复杂度增长速率的渐近行为如何？
• RQ4 能否证明1周期图中具有两个边轨道的拉普拉斯多项式的Mahler测度下界为 $ \log 2 $？
• RQ5 在d周期图中，边收缩与商运算操作下，复杂度增长速率的行为如何？

主要发现

• d周期图 $ G $ 的拉普拉斯多项式 $ D_G $ 的Mahler测度等于其有限商图 $ G_\lambda $ 的挠复杂度 $ \kappa_{G_\lambda} $ 的指数增长速率。
• 对于边权为±1的1周期图，复杂度增长速率的下界为 $ \log 2 $，且仅在特殊情况下取等。
• Lehmer猜想等价于：所有边权为±1的1周期图中，复杂度增长速率的下确界为正。
• d维格图 $ \mathbb{G}_d $ 的复杂度增长速率 $ \gamma_{\mathbb{G}_d} $ 满足 $ \gamma_{\mathbb{G}_d} \leq \log 2d $，且仅在 $ d \to \infty $ 的极限下取等。
• 对于任意非零复杂度增长速率的1周期图 $ G $，有 $ \gamma_G \geq \log 2 $，且当且仅当 $ G $ 为树或具有特定双轨道结构时取等。
• 对于具有两个边轨道 $ r=1, s $ 的1周期图，其拉普拉斯多项式的Mahler测度下界为 $ \log 8 + \int_0^1 \log|\sin(\pi\theta)| d\theta + \int_0^1 \log|\sin(\pi s\theta)| d\theta $，其值至少为 $ \log 2 $。