[论文解读] Graph Homomorphisms, Circular Colouring, and Fractional Covering by H-cuts

Robert Engström, Tommy Färnqvist+2 more|ArXiv.org|Apr 29, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文研究图同态问题的近似阈值函数 $ s(M,N) $，重点关注 $ 2 \leq p/q \leq 3 $ 的圆周完全图 $ K_{p/q} $。研究发现 $ s $ 在此类图中为常数，将边界扩展至不含 $ K_4 $ 子图及平均度有界的图类，并将 $ s(M,N) $ 与割集的分数覆盖联系起来，解决了 Šámal 关于立方色数的两个猜想。

ABSTRACT

A graph homomorphism is a vertex map which carries edges from a source graph to edges in a target graph. The instances of the Weighted Maximum H-Colourable Subgraph problem (MAX H-COL) are edge-weighted graphs G and the objective is to find a subgraph of G that has maximal total edge weight, under the condition that the subgraph has a homomorphism to H; note that for H=K_k this problem is equivalent to MAX k-CUT. Farnqvist et al. have introduced a parameter on the space of graphs that allows close study of the approximability properties of MAX H-COL. Specifically, it can be used to extend previously known (in)approximability results to larger classes of graphs. Here, we investigate the properties of this parameter on circular complete graphs K_{p/q}, where 2 <= p/q <= 3. The results are extended to K_4-minor-free graphs and graphs with bounded maximum average degree. We also consider connections with Samal's work on fractional covering by cuts: we address, and decide, two conjectures concerning cubical chromatic numbers.

研究动机与目标

• 分析近似阈值函数 $ s(M,N) $ 在圆周完全图 $ K_{p/q} $（$ 2 \leq p/q \leq 3 $）上的行为。
• 将已知的 $ K_{p/q} $ 上的不可近似性与近似边界扩展至更广的图类，包括不含 $ K_4 $ 子图及最大平均度有界的图。
• 将 $ s(M,N) $ 与割集的分数覆盖联系起来，推广 Šámal 关于色数的工作。
• 解决 Šámal 关于立方色数的两个开放猜想：一个被推翻，一个被证实。

提出的方法

• 基于边自同构轨道的线性规划公式计算 $ s(M,N) $，利用在 $ \text{Aut}^*(N) $ 下不变的权重函数。
• 应用引理 1.1 将 $ s(M,N) $ 与同态链联系起来：若 $ M \rightarrow H \rightarrow N $，则 $ s(M,N) \leq \min(s(M,H), s(H,N)) $。
• 使用递推关系与生成函数求解对称图中边权重分布，特别是奇圈与圆周完全图。
• 基于 Pan 和 Zhu 关于圆周色数边界的成果，推导出 $ s(K_2, G) $ 在奇圈长约束下的渐近表达式。
• 将 $ s(M,N) $ 重新解释为分数覆盖参数，通过新一族色数与 Šámal 的立方色数建立联系。
• 求解由同态签名约束导出的线性方程组，以计算最优权重分布及 $ s $ 的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ 2 \leq p/q \leq 3 $ 的圆周完全图 $ K_{p/q} $ 上，近似阈值函数 $ s(M,N) $ 的行为如何？
• RQ2 如何将 $ s(M,N) $ 的边界从圆周图扩展至不含 $ K_4 $ 子图及平均度有界的图类？
• RQ3 $ s(M,N) $ 与割集的分数覆盖之间有何关系，其与色数参数的关系为何？
• RQ4 Šámal 关于立方色数的两个猜想是否成立，特别是关于存在满足 $ \chi_c^\square(G) = 4 $ 与 $ \chi_c^\square(G) \leq 3 $ 的图？
• RQ5 能否通过自同构群的对称性约化与线性规划高效计算函数 $ s(M,N) $？

主要发现

• 对于满足 $ 2 \leq p/q \leq 3 $ 的圆周完全图 $ K_{p/q} $，$ s(M,N) $ 在此类图的广大类中为常数，从而可转移近似边界。
• 本文证明：当图 $ G $ 的奇圈长至少为 $ 6k-1 $ 时，有 $ s(K_2, G) \geq \frac{4k}{4k+1} $；当奇圈长大于等于 $ 6k+3 $ 时，有 $ s(K_2, G) \geq \frac{4k+2}{4k+3} $，适用于不含 $ K_4 $ 子图的图。
• $ s(M,N) $ 被证明与一族新色数 $ \chi_M(N) $ 密切相关，提供了另一种计算路径。
• 本文推翻了 Šámal 的猜想，即存在满足 $ \chi_c^\square(G) = 4 $ 的图，证明此类图不存在。
• 本文证实了 Šámal 的猜想，即对所有图 $ G $，有 $ \chi_c^\square(G) \leq 3 $，并确立了紧致上界。
• 推导出 $ s $ 的闭式表达式为 $ s = \frac{(2kn+n-4)(\xi_n(4k-1)+(2k-1))}{(2kn+n-4)(\xi_n(4k-1)+(2k-1))+(4k-2)(1-\xi_n)} $，其中 $ \xi_n = (\alpha_1^{(n-1)/2} + \alpha_2^{(n-1)/2})/4 $，且 $ \alpha_1, \alpha_2 $ 为由递推关系导出的二次方程的根。