[论文解读] Graph Laplacian assisted regularization method under noise level free heuristic and statistical stopping rule

Harshit Bajpai, Ankik Kumar Giri|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

Numerical methods in inverse problems被引用 0

一句话总结

呈现一种基于图拉普拉斯正则化的迭代方法，用于线性和非线性病态逆问题，在不知道噪声水平的情况下运行，基于重复测量的启发式和统计性停止准则。

ABSTRACT

In this work, we address the solution of both linear and nonlinear ill-posed inverse problems by developing a novel graph-based regularization framework, where the regularization term is formulated through an iteratively updated graph Laplacian. The proposed approach operates without prior knowledge of the noise level and employs two distinct stopping criteria namely, the heuristic rule and the statistical discrepancy principle. To facilitate the latter, we utilize averaged measurements derived from multiple repeated observations. We provide a detailed convergence analysis of the method in statistical prospective, establishing its stability and regularization properties under both stopping strategies. The algorithm begins with the computation of an initial reconstruction using any suitable techniques like Tikhonov regularization (Tik), filtered back projection (FBP) or total variation (TV), which is used as the foundation for generating the initial graph Laplacian. The reconstruction is made better step by step using an iterative process, during which the graph Laplacian is dynamically re-calibrated to reflect how the solution's structure is changing. Finally, we present numerical experiments on X-ray Computed Tomography (CT) and phase retrieval CT, demonstrating the effectiveness and robustness of the proposed method and comparing its reconstruction performance under both stopping rules.

研究动机与目标

• 为线性和非线性病态逆问题在不知道噪声水平的情况下建立基于图的正则化框架。
• 引入两种不需要噪声信息的停止准则：一种启发式规则和一种统计发散原理。
• 利用平均测量实现数据驱动的稳定化与收敛性分析。
• 在提出的停止策略下给出收敛性、稳定性和正则化性质。
• 通过X射线CT和相位获取CT的数值实验来展示该方法。

提出的方法

• 将迭代方案设定为 u_{k+1}^{(m)} = u_{k}^{(m)} - α_{k}^{(m)} F'(u_{k}^{(m)})^*(F(u_{k}^{(m)}) - ̆hat^{(m)}) - β_{k}^{(m)} Δ_{u_{k}^{(m)}} u_{k}^{(m)}，初始猜测为 u_{0}^{(m)} = Ψ_{θ}(̆hat^{(m)}).
• 从当前迭代结果构造一个数据相关的图拉普拉斯 Δ_{u} 来正则化更新。
• 使用多组独立同分布测量 v_i 的平均来获得经验数据 ̆hat^{(m)}，以及通过 z_m^2 = (1/(m-1)) Σ_i ||v_i - ̆hat^{(m)}||^2 来估计噪声水平。
• 引入两种与噪声水平无关的停止规则：(i) 启发式规则 k_m^*，使 Ω(k, ̆hat^{(m)}) = (k+ρ)||F(u_k^{(m)}) - ̆hat^{(m)}||^2 最小化；(ii) 统计性发散原理，当 ||F(u_k^{(m)}) - ̆hat^{(m)}|| ≤ (τ_m/√m) z_m 时停止，其中 τ_m > 1。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个基于图的正则化框架是否可以在没有已知噪声水平的情况下解决病态逆问题？
• RQ2 在非线性设定下，使用平均测量时，启发式和统计性停止规则是否能保证收敛性与稳定性？
• RQ3 与传统方法相比，基于图拉普拉斯正则化的迭代在类似MRI的CT和相位获取CT问题上的表现如何？
• RQ4 在所提出的停止策略下，收敛性、稳定性和正则化效果的性质是什么？
• RQ5 在每次迭代重新标定图拉普拉斯对重建质量有何影响？

主要发现

• 所提出的 E-IRMGL+ Ψ 方法在使用重复测量时，在两种停止策略下均具备收敛性与稳定性。
• 该算法在每次迭代更新自适应的图拉普拉斯，能够反映解的结构变化。
• 分析了两种无噪声水平的停止规则：一种启发式规则和一种基于平均数据的统计发散原理。
• 理论结果建立了单调性和残差控制，并在统计规则下实现有限终止，且展示了精确数据收敛。
• 在X射线CT和相位获取CT上的数值实验表明，该方法在不同停止准则下的有效性和鲁棒性。