[论文解读] Graphes, moyennabilité et bas du spectre de variétés topologiquement infinies

Samuel Tapie|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文引入了一类通过沿规则图粘合固定胞腔构造的拓扑无限黎曼流形，推广了周期流形的概念。关键结果表明，此类流形上拉普拉斯算子谱的下确界等于胞腔的下确界，当且仅当其底层图是可约的；否则，谱间隙明确地由图的组合谱间隙与胞腔的几何数据决定的函数从下方有界。

ABSTRACT

From a graph $G$ with constant valency $v$ and a (non-compact) manifold $C$ with $v$ boundary components, we build a $G$-periodic manifold $M$. This process gives a class of topologically infinite manifolds which generalizes periodic manifolds and includes all riemannian coverings with finitely generated deck-group. Our main result is that, when the first eigenfunction of $C$ extends to $M$, the bottom of the spectrum of $M$ is equal to $C$'s if and only if the graph $G$ is amenable. When $G$ is not amenable, we control explicitly the gap between these bottom of the spectrum. In particular, we show that if $p : M a N$ is a riemannian covering and the metric of $N$ is generic, then $λ_0(M)\geq λ_0(N)$ with equality if and only if the deck-group is amenable. This generalizes a result of R. Brooks.

研究动机与目标

• 研究通过图基粘合胞腔构造的拓扑无限黎曼流形上拉普拉斯算子谱下确界的性质。
• 将周期流形上的结果推广到更广泛的非紧致、拓扑无限流形类。
• 确定无限流形谱下确界等于基底胞腔谱下确界的精确条件。
• 当底层图非可约时，量化谱间隙，并将其与组合与几何不变量联系起来。
• 扩展黎曼覆盖的结果，表明谱下确界至少不小于基底流形的谱下确界，且等式成立当且仅当覆盖群是可约的。

提出的方法

• 通过在v-正则图G的每个顶点处粘合一个固定胞腔C（具有v个边界分量）来构造流形M，沿G的边识别边界分量。
• 在胞腔C上使用诺伊曼边界条件，并通过粘合将C的首阶特征函数φ₀扩展到M，假设其相容。
• 应用非紧致流形上拉普拉斯算子的谱理论，重点关注谱的下确界λ₀。
• 利用胞腔边界几何数据，将谱间隙λ₀(M) − λ₀(C)与图G的组合谱间隙μ₀(G)联系起来。
• 使用仅依赖于C几何的常数，基于图的契赫常数h(G)和胞腔的谱间隙η，建立谱间隙的下界。
• 使用离散分析与比较定理，控制无限结构中特征函数与谱不变量的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在图周期流形中，其谱下确界何时等于基底胞腔的谱下确界？
• RQ2 当底层图G为非可约时，谱间隙λ₀(M) − λ₀(C)的行为如何？
• RQ3 谱间隙能否以图论不变量（如μ₀(G)与h(G)）显式有界？
• RQ4 在何种条件下，黎曼覆盖p:M→N满足λ₀(M) ≥ λ₀(N)，且等式成立当且仅当覆盖群是可约的？
• RQ5 该方法能否推广至具有截线或几何结构复杂的非紧致流形？

主要发现

• 流形M的谱下确界等于胞腔C的谱下确界，当且仅当其底层图G是可约的。
• 当G为非可约时，谱间隙满足λ₀(M) − λ₀(C) ≥ Aημ₀(G) > 0，其中A仅依赖于C边界几何，且η = λ₁(C) − λ₀(C)。
• 对于具有有界胞腔邻域的流形，该间隙也由A′h(G)从上方有界，其中A′依赖于C的几何与λ₀(C)。
• 该结果推广了R. Brooks关于覆盖的不等式：对于N上具有正注入半径与谱间隙的通用度量，有λ₀(M) ≥ λ₀(N)，且等式成立当且仅当覆盖群是可约的。
• 该方法提供了一种通过离散分解估计λ₀(M)的实用途径，在截线区域中优于标准固定半径离散化。
• 该框架提示可将[CCdV88]的结果推广至无限图，尤其适用于具有测地线边界分量的黎曼曲面。