[论文解读] Graphs, permutations and topological groups

Rögnvaldur G. Möller|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2010

Geometric and Algebraic Topology参考文献 72被引用 10

一句话总结

本文建立了置换群、图论与拓扑群之间的深刻联系，特别聚焦于完全不连通局部紧（TDLC）群。它引入了粗Cayley图作为紧生成TDLC群的拟等距不变量，并运用图论方法——如成对端点与多项式增长——刻画群的结构，最终以几乎幂零商群与紧开正规子群的形式表征了多项式增长。

ABSTRACT

Various connections between the theory of permutation groups and the theory of topological groups are described. These connections are applied in permutation group theory and in the structure theory of topological groups. The first draft of these notes was written for lectures at the conference Totally disconnected groups, graphs and geometry in Blaubeuren, Germany, 2007.

研究动机与目标

• 统一置换群理论、图论与拓扑群理论中的概念，特别聚焦于完全不连通局部紧（TDLC）群。
• 通过粗Cayley图构造，发展一种图论框架，用于分析TDLC群的结构。
• 通过其粗Cayley图的结构性质，表征紧生成TDLC群中的多项式增长。
• 利用图论与群论工具，将经典结果如Gromov关于多项式增长的定理推广至拓扑群的设定。
• 通过图论构造，为群论不变量（如成对端点与共轭子群）提供几何解释。

提出的方法

• 利用恒等元的紧对称邻域，为紧生成、完全不连通、局部紧群构造粗Cayley图。
• 将粗Cayley图用作拟等距不变量，以研究诸如增长与端点等几何性质。
• 应用图论概念——如图的端点、连通分支与度数——分析作用于图上的群的结构。
• 采用共轭性与共轭子群的概念，研究群在子群上的分裂结构。
• 利用Trofimov关于多项式增长图的自同构群的定理，推导出拓扑群的结构结果。
• 利用Iwasawa定理与Schlichting定理作为基础工具，通过置换群与图论方法重新诠释。

实验结果

研究问题

• RQ1 群上的置换拓扑如何用于结合拓扑群论研究置换群的结构？
• RQ2 图论构造（如粗Cayley图）在何种程度上可作为紧生成、完全不连通、局部紧群的不变量？
• RQ3 群的成对端点与共端点概念如何与群在子群上的分裂相关联？它们编码了何种几何信息？
• RQ4 TDLC群中的多项式增长与存在一个正规、紧、开子群K使得G/K为有限生成几乎幂零群之间存在何种关系？
• RQ5 对TDLC群的Willis结构理论的图论解释，能否为这类群的代数结构提供新见解？

主要发现

• 紧生成、完全不连通、局部紧群的粗Cayley图是拟等距不变量，从而可实现对群的几何分析。
• 连通、局部有限的图具有多项式增长，当且仅当从固定顶点出发距离不超过n的顶点数关于n呈多项式增长。
• 紧生成、完全不连通、局部紧群在测度论意义下具有多项式增长，当且仅当其粗Cayley图具有多项式增长。
• 群G具有多项式增长，当且仅当其存在一个正规、紧、开子群K，使得G/K为有限生成几乎幂零群。
• 在共轭子群为整个群G的条件下，Kropholler关于群在与C共轭的子群上分裂的猜想得到验证。
• 群的成对端点、共端点与粗端点理论可进行图论解释，从而导出对定理4.31中群分裂的证明。