[论文解读] Graphs with many valencies and few eigenvalues

Edwin van Dam, Jack H. Koolen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2014

Graph theory and applications参考文献 18被引用 8

一句话总结

本文利用正则二图和Seidel切换，构造出具有四个和五个不同特征值但具有任意多个不同度数的连通图。结果表明，此类图的度数多样性并不受特征值数量的限制，从而解决了关于特征值数量与顶点度数多样性之间关系的长期开放问题。

ABSTRACT

Dom de Caen posed the question whether connected graphs with three distinct eigenvalues have at most three distinct valencies. We do not answer this question, but instead construct connected graphs with four and five distinct eigenvalues and arbitrarily many distinct valencies. The graphs with four distinct eigenvalues come from regular two-graphs. As a side result, we characterize the disconnected graphs and the graphs with three distinct eigenvalues in the switching class of a regular two-graph.

研究动机与目标

• 研究连通图中不同度数的数量是否受不同特征值数量的限制。
• 构造具有较少特征值但任意多个不同度数的连通图，以反驳De Caen的猜想。
• 探讨正则二图的切换类中图的结构，特别是其特征值与度数性质。
• 研究切换类中图为不连通或仅有三个特征值的条件。
• 将Mohar的构造方法扩展，使具有多个度数的连通二分图的特征值数量从七个减少到五个。

提出的方法

• 利用Seidel切换和正则二图生成具有受控特征值谱的图。
• 应用交错定理，确保向不相交的完全二分图的并集中添加一个顶点时，能保持特征值数量有限。
• 通过将一个新顶点连接到每个分量的一个颜色类，构造连通二分图，保持邻接矩阵的秩，并将不同特征值的数量减少到五个。
• 使用关联矩阵证明新顶点的邻接行是现有行的线性组合，从而确保0作为具有高重数的特征值被保留。
• 利用Ryser关于非正则均匀乘法设计的构造，生成具有四个特征值和四个度数的无限二分图族。
• 通过度数划分的商矩阵分析，验证其均衡性，并推导图结构的组合约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有四个或五个不同特征值的连通图是否可以具有任意多个不同度数？
• RQ2 是否存在具有四个特征值且度数超过四个的连通二分图？
• RQ3 在非平凡正则二图的切换类中，图在何种条件下为不连通或仅有三个特征值？
• RQ4 在具有超过三个不同度数和三个特征值的图中，度数划分是否为均衡划分？
• RQ5 是否存在具有三个特征值和四个不同度数的图？其对应的组合结构是什么？

主要发现

• 对每个整数 $ t $，存在一个连通二分图，具有五个不同特征值且至少 $ t $ 个不同度数，该图通过在不相交的完全二分图并集上应用Seidel切换构造而成。
• 通过使新顶点的邻接行成为现有行的线性组合，确保仅存在五个不同特征值，从而保持矩阵的秩并增加0的重数。
• 在非平凡正则二图的切换类中，图为不连通当且仅当其为强正则图与一个孤立顶点的不相交并。
• 若非平凡正则二图切换类中的图仅有三个特征值，则其必为正则图，因而也是强正则图。
• 提出一个具有三个特征值和四个不同度数（13, 18, 34, 45）的图，共51个顶点，其商矩阵表明存在一个均衡划分，且在度数18与34的顶点之间存在一个2-(5,3,9)设计。
• 度数18的5个顶点与度数34的30个顶点之间的关联结构被证明是五个点上完全3一致设计的三个副本，表明存在强烈的组合约束。