[论文解读] Gravitational dual of the Rényi twist displacement operator

Srivatsan Balakrishnan, Souvik Dutta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2016

Numerical methods in inverse problems被引用 10

一句话总结

本文利用AdS/CFT，构建了CFT中高维扭缺陷上位移算符的全息对偶，推导了双曲黑洞背景上线性度规涨落的全息边界到体 propagator。关键结果是在任意维度下显式计算出位移双点函数系数 $ C_D $，其在 $ n \to 1 $ 极限下与零能量算符响应一致。

ABSTRACT

We give a recipe for computing correlation functions of the displacement operator localized on a spherical or planar higher dimensional twist defect using AdS/CFT. Such twist operators are typically used to construct the $n$'th Renyi entropies of spatial entanglement in CFTs and are holographically dual to black holes with hyperbolic horizons. The displacement operator then tells us how the Renyi entropies change under small shape deformations of the entangling surface. We explicitly construct the bulk to boundary propagator for the displacement operator insertion as a linearized metric fluctuation of the hyperbolic black hole and use this to extract the coefficient of the displacement operator two point function $C_D$ in any dimension. The $n ightarrow 1$ limit of the twist displacement operator gives the same bulk response as the insertion of a null energy operator in vacuum, which is consistent with recent results on the shape dependence of entanglement entropy and modular energy.

研究动机与目标

• 构建CFT中高维扭缺陷上位移算符的全息对偶。
• 在任意时空维度下计算位移算符双点函数的系数 $ C_D $。
• 建立扭缺陷在 $ n \to 1 $ 极限下与真空对零能量算符插入响应之间的一致性。
• 提供一种使用AdS/CFT计算球形或平面扭缺陷上位移算符相关函数的一般方法。
• 通过显式构造位移算符在体中的实现，将全息对偶性推广至缺陷CFT。

提出的方法

• 使用复制技巧，通过共维数为2的扭缺陷的 $ n $ 重轨道CFT定义Rényi熵。
• 应用嵌入空间形式和dCFT的Ward恒等式，表征位移算符的标度维数 $ d-1 $ 及横向向量变换性质。
• 将体到边界 propagator 构造为具有 $ \mathbb{H}_{d-1} \times S^1 $ 事件视界几何的双曲黑洞背景上的线性度规涨落。
• 通过在 $ \delta_n = n-1 $ 上的微扰展开，推导出将原始双曲黑洞解映射到扭缺陷被位移的形变几何的微分同胚和Weyl形变。
• 通过微扰解 $ \hat{k}(r) $，将体度规形变 $ h_{mn} $、$ h_{m\tau} $ 和 $ h_{\tau\tau} $ 用边界形变 $ \delta w^\alpha $ 表示。
• 利用 $ \rho \to 0 $ 极限，提取近纠缠表面的主导度规形变，表明其与共形适配的高斯正交坐标系形式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在AdS中将CFT中高维扭缺陷上的位移算符全息实现为线性度规涨落？
• RQ2 在任意维度下，位移算符的体到边界 propagator 的显式形式是什么？
• RQ3 Rényi 扭缺陷的 $ n \to 1 $ 极限如何与真空中零能量算符插入的响应相关联？
• RQ4 在一般 $ d $ 维CFT中，位移双点函数的系数 $ C_D $ 是什么？
• RQ5 为何缺陷的共形不变性自然选择出纠缠表面附近特定形式的形变度规？

主要发现

• 在任意维度 $ d $ 下显式计算出位移双点函数系数 $ C_D $，为Rényi熵形状依赖性提供了普遍的全息结果。
• 扭缺陷在 $ n \to 1 $ 极限下的响应与体中零能量算符插入的响应一致，确认了与近期关于纠缠熵形状依赖性的结果一致。
• 在纠缠表面附近的体度规形变呈现为共形适配的、非高斯正交形式的度规，其具有 $ d\rho dy^i $ 交叉项，自然源于共形不变性。
• 位移算符的体实现被推导为线性度规涨落 $ h_{mn} $、$ h_{m\tau} $、$ h_{\tau\tau} $，其完全由边界形变 $ \delta w^\alpha $ 通过解 $ \phi^\alpha $ 确定。
• 通过在 $ \delta_n = n-1 $ 上的微扰展开，构造出位移扭缺陷的微分同胚和Weyl形变，其解与所需的形变双曲面几何一致。
• 完整的体到边界 propagator 以 $ \phi^\alpha $、$ \hat{g} $、$ \hat{\nabla} $ 和 $ \rho $ 表示，其显式形式见公式 (48)，即使在远离纠缠表面处也有效。