[论文解读] Gromov norm and Turaev-Viro invariants of 3-manifolds

Renaud Detcherry, Efstratia Kalfagianni|arXiv (Cornell University)|May 28, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文建立了Turaev-Viro不变量的大规模渐近行为与3-流形的Gromov范数之间的直接关系。通过结合拓扑量子场论（TQFT）、几何分解以及6j-符号的分析估计，证明了$TV_r(M)$的对数增长速率被一个关于Gromov范数的线性函数所上界，且给出了一个显式的通用常数。关键结果是，对于具有环面边界的一般紧致可定向3-流形，存在一个通用上界$LTV(M) \leq C \|M\|$；并构造了无限多族双曲3-流形，其$SO(3)$-Turaev-Viro不变量呈指数增长。

ABSTRACT

We establish a relation between the "large r" asymptotics of the Turaev-Viro invariants $TV_r$ and the Gromov norm of 3-manifolds. We show that for any orientable, compact 3-manifold $M$, with (possibly empty) toroidal boundary, $\log |TV_r (M)|$ is bounded above by a function linear in $r$ and whose slope is a positive universal constant times the Gromov norm of $M$. The proof combines TQFT techniques, geometric decomposition theory of 3-manifolds and analytical estimates of $6j$-symbols. We obtain topological criteria that can be used to check whether the growth is actually exponential; that is one has $\log| TV_r (M)|\geqslant B \ r$, for some $B>0$. We use these criteria to construct infinite families of hyperbolic 3-manifolds whose $SO(3)$ Turaev-Viro invariants grow exponentially. These constructions are essential for the results of [DK:AMU] where the authors make progress on a conjecture of Andersen, Masbaum and Ueno about the geometric properties of surface mapping class groups detected by the quantum representations. We also study the behavior of the Turaev-Viro invariants under cutting and gluing of 3-manifolds along tori. In particular, we show that, like the Gromov norm, the values of the invariants do not increase under Dehn filling and we give applications of this result on the question of the extent to which relations between the invariants $TV_r$ and hyperbolic volume are preserved under Dehn filling. Finally we give constructions of 3-manifolds, both with zero and non-zero Gromov norm, for which the Turaev-Viro invariants determine the Gromov norm.

研究动机与目标

• 建立Turaev-Viro不变量渐近增长速率的通用上界，以3-流形的Gromov范数表示。
• 提供当$TV_r(M)$呈指数增长时（即$\log|TV_r(M)| \geq Br$，$B > 0$）的拓扑条件。
• 研究Turaev-Viro不变量在德恩填充和环面沿边粘合下的行为，表明此类操作不会使其增加。
• 构造显式的一族双曲3-流形，其$SO(3)$-Turaev-Viro不变量呈指数增长。
• 证明在某些类别的3-流形中，Turaev-Viro不变量可确定Gromov范数，涵盖零范数与非零范数的情形。

提出的方法

• 作者使用TQFT技术分析在水平$r$下Turaev-Viro不变量的结构，特别关注$q = e^{2\pi i / r}$时的$SO(3)$-理论。
• 应用3-流形的几何分解理论，尤其是JSJ分解与双曲几何，分析$M$的拓扑与几何结构。
• 通过函数$v(\alpha,\beta,\gamma) = \Lambda(\alpha + \beta + \gamma) + \Lambda(\alpha + \beta - \gamma) + \Lambda(\alpha + \gamma - \beta) + \Lambda(\beta + \gamma - \alpha)$的渐近展开与临界点分析，推导出$6j$-符号的分析估计，其中$\Lambda(x) = -\frac{1}{2} \log|2\sin x|$。
• 分析函数$v$的临界点，以界定$6j$-符号贡献的最大值，得出$\max v = \frac{v_8}{4}$，其中$v_8 \simeq 1.83419$。
• 对完整Turaev-Viro振幅中的函数$g$，在变量$Z, A_i, U_j, V_k$上进行分析，证明其最大值为$8\Lambda(\pi/8) \simeq 3.927488$，该值主导了不变量的贡献。
• 将这些渐近界与流形分解带来的拓扑约束相结合，推导出通用线性上界$LTV(M) \leq C\|M\|$，其中$C \approx 8.3581 \times 10^9$。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$r \to \infty$时，Turaev-Viro不变量$TV_r(M)$的渐近增长速率与3-流形$M$的Gromov范数$\|M\|$有何关系？
• RQ2 在何种拓扑条件下，$TV_r(M)$呈指数增长，即存在$B > 0$使得$\log|TV_r(M)| \geq Br$？
• RQ3 Turaev-Viro不变量在德恩填充和沿环面粘合下如何变化？它们是否具有类似于Gromov范数的单调性？
• RQ4 能否构造出显式的一族双曲3-流形，使得其$SO(3)$-Turaev-Viro不变量呈指数增长？
• RQ5 在多大程度上，Turaev-Viro不变量可确定Gromov范数，包括零范数与非零范数的情形？

主要发现

• 本文建立了通用上界：对所有具有空边界或环面边界的紧致可定向3-流形，有$LTV(M) \leq C\|M\|$，其中$C \approx 8.3581 \times 10^9$。
• 对于大多数$S^3$中的双曲链环$L$，该界可改进为$LTV(S^3 \setminus L) \leq 10.5 \cdot \mathrm{vol}(S^3 \setminus L)$；且对任意$E > 1$，只要$E$足够接近1，就存在无限多族满足$LTV(M) \leq E \cdot \mathrm{vol}(M)$的流形。
• 作者构造了无限多族双曲3-流形，其$SO(3)$-Turaev-Viro不变量呈指数增长，满足$\log|TV_r(M)| \geq Br$（$B > 0$），这是首次在具有明确拓扑准则下实现此类构造的实例。
• Turaev-Viro不变量在德恩填充下不会增加，其行为与Gromov范数一致；该单调性被用于研究$TV_r$与双曲体积之间关系在填充下的稳定性。
• 对于$S^3$或$S^1 \times S^2$中Gromov范数为零的链环，有$lTV(M) = LTV(M) = 0$，表明$TV_r$可检测此类情形下Gromov范数的消失。
• 本文构造了显式的一族非零Gromov范数的3-流形，使得$LTV(M) = \|M\|$，证明在特定拓扑设定下，Turaev-Viro不变量可精确恢复Gromov范数。