[论文解读] Gromov-Witten invariants of the Hilbert scheme of 3-points on P^2

Dan Edidin, Wei-Ping Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 10

一句话总结

该论文使用障碍丛方法、复合律和等变局部化，计算了射影平面 ℙ² 上 3 个点的 Hilbert 模丛的 3 点亏格 0 Gromov-Witten 不变量。论文给出了这些不变量在 Heisenberg 代数算子下的显式公式，验证了 Ruan 关于量子修正的猜想，并通过 Mathematica 计算了度数 d ≤ 4 的关键 2 点不变量，得出精确值：d = 1 至 4 时分别为 −27、27/2、18 和 27/4。

ABSTRACT

Using obstruction bundles, composition law and the localization formula, we compute certain 3-point genus-0 Gromov-Witten invariants of the Hilbert scheme of 3-points on the complex projective plane. Our results partially verify Ruan's conjecture about quantum corrections for this Hilbert scheme.

研究动机与目标

• 计算射影平面 ℙ² 上 3 个点的 Hilbert 模丛的 3 点亏格 0 Gromov-Witten 不变量。
• 确定由 Hilbert-Chow 映射收缩的曲线的贡献，特别是那些同调类为 dβ₃ 的曲线。
• 验证该 Hilbert 模丛的量子上同调环上 Ruan 关于量子修正的猜想。
• 使用等变局部化和符号计算，显式计算小度数 d ≤ 4 时的临界 2 点不变量 ⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d。

提出的方法

• 使用障碍丛技术和复合律，将 3 点不变量约化为 2 点不变量或更简单的 3 点情形。
• 应用 Gómez 和 Pantev 的虚拟局部化公式，计算 ℙ² 上 (ℂ*)² 作用下的不变量。
• 将 2 点不变量的计算约化为具有度数约束的稳定图求和。
• 使用 Mathematica 中的符号计算来计算 d ≤ 4 时的求和。
• 为每个稳定图对不变量的贡献推导出显式的有理函数 fₖ,ᵢ,ⱼ。
• 使用 Poincaré 对偶性和 Heisenberg 代数生成元，将上同调类表示为 |0⟩ 状态的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 射影平面 ℙ² 上 3 个点的 Hilbert 模丛的 3 点亏格 0 Gromov-Witten 不变量是什么？
• RQ2 哪些 3 点不变量非零？它们在 Heisenberg 代数算子下的值是多少？
• RQ3 对于小度数 d，2 点不变量 ⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d 的值是多少？
• RQ4 所计算的不变量是否支持该 Hilbert 模丛的 Ruan 关于量子修正的猜想？
• RQ5 能否使用局部化和符号方法显式计算 d ≤ 4 时的 2 点不变量？

主要发现

• 2 点不变量 ⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d 在 d = 1 至 4 时被精确计算：分别为 −27、27/2、18 和 27/4。
• 当 d = 1 时，3 点不变量 ⟨PD(𝔞₋₂(X)𝔞₋₁(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₂(X)𝔞₋₁(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₁(X)𝔞₋₂(ℓ)|0⟩)⟩₀,1 的值为 −24。
• 当 d = 1 时，3 点不变量 ⟨PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₂(X)𝔞₋₁(ℓ)|0⟩)⟩₀,1 的值为 −54。
• 当 d = 1 时，3 点不变量 ⟨PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,1 的值为 −178。
• 2 点不变量 f(d) = d·⟨PD(𝔞₋₃(ℓ)|0⟩, PD(𝔞₋₃(X)|0⟩)⟩₀,d 的值为：d = 1 时为 27，d = 2 时为 27，d = 3 时为 54，d = 4 时为 108。
• 当 d = 1 时，所有 3 点不变量均被完全确定，并与包含 f(d) 和 d₁ < d 的求和的一般公式一致。