[论文解读] Grothendieck duality on formal schemes

Leovigildo Alonso Tarrı́o, Ana Jeremı́as López+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 1997

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 6被引用 1

一句话总结

本文通过适配 Deligne 的方法以及基于 Brown 表示性与 Neeman 框架的替代方法，建立了诺特形式概形上无界复形的全局 Grothendieck 对偶性。该研究统一了局部对偶、形式对偶与留数定理，为具有下有界的凝聚同调复形的伪紧致与紧致映射提供了层化对偶定理。

ABSTRACT

We give several related versions of global Grothendieck Duality for unbounded complexes on noetherian formal schemes. The proofs, based on a non-trivial adaptation of Deligne's method for the special case of ordinary schemes, are reasonably self-contained, modulo the Special Adjoint Functor Theorem. An alternative approach, inspired by Neeman and based on recent results about Brown Representability, is indicated as well. A section on applications and examples illustrates how these theorems synthesize a number of different duality-related results (local duality, formal duality, residue theorems, dualizing complexes...). A flat-base-change theorem for pseudo-proper maps leads in particular to sheafified versions of duality for bounded-below complexes with quasi-coherent homology. Thanks to Greenlees-May duality, the results take a specially nice form for proper maps and bounded-below complexes with coherent homology.

研究动机与目标

• 将 Grothendieck 对偶性推广至诺特形式概形上的无界复形。
• 在单一框架下统一分散的对偶结果——局部对偶、形式对偶、留数定理。
• 为具有拟 coherent 同调的下有界复形提供对偶定理的层化版本。
• 在形式概形设定中建立伪紧致映射的平坦基变换定理。
• 证明 Greenlees-May 对偶性可简化具有凝聚同调的紧致映射与下有界复形的对偶陈述。

提出的方法

• 将 Deligne 在普通概形上的方法适配至形式概形设定，利用特殊伴随函子定理。
• 应用关于 Brown 表示性的近期成果，提供另一种证明框架。
• 构造对偶复形，并利用它们在导出范畴中定义对偶同构。
• 建立伪紧致映射的平坦基变换定理，以将对偶性推广至基变换。
• 利用 Greenlees-May 对偶性简化紧致映射情形下对偶陈述的形式。
• 在形式概形上拟 coherent 层的导出范畴中工作，以确保与凝聚同调的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Grothendieck 对偶性推广至诺特形式概形上的无界复形？
• RQ2 现有的对偶定理——局部对偶、形式对偶、留数定理——在形式概形上如何整合进统一框架？
• RQ3 伪紧致映射在形式设定中实现对偶性基变换定理时起到何种作用？
• RQ4 Greenlees-May 对偶性如何改进具有凝聚同调的紧致映射与下有界复形的对偶陈述？
• RQ5 能否通过基变换为具有拟 coherent 同调的下有界复形构造层化对偶定理？

主要发现

• 本文通过自包含的 Deligne 方法适配，建立了诺特形式概形上无界复形的全局 Grothendieck 对偶性。
• 提供了基于 Brown 表示性与表示理论近期进展的替代证明，为对偶同构提供了不同的视角。
• 对偶定理在单一形式框架内统一了局部对偶、形式对偶与留数定理。
• 伪紧致映射的平坦基变换定理使得具有拟 coherent 同调的下有界复形的层化对偶同构得以构造。
• 对于具有凝聚同调的紧致映射与下有界复形，Greenlees-May 对偶性导致对偶陈述的特别简洁且明确的形式。
• 结果表明，形式概形上的对偶复形可用于恢复并推广代数几何中的经典对偶现象。