[论文解读] Groupoid Models of $C^*$-algebras and Gelfand Duality

Kyle Austin, Atish Mitra|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 19被引用 5

一句话总结

本文引入了一个函子性框架，用于通过广群对 $C^*$-代数进行建模，构造从带有部分态射的广群范畴到 $C^*$-代数的反变函子 $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$。该框架通过证明这些函子保持有限和与逆极限，扩展了 Gelfand 对偶性，并应用该框架在不依赖分类理论的前提下，为 Jiang-Su 代数 $\mathcal{Z}$ 和 Razak-Jacelon 代数 $\mathcal{W}$ 构造了显式的广群模型。

ABSTRACT

We construct a large class of morphisms, which we call partial morphisms, of groupoids that induce $*$-morphisms of maximal and minimal groupoid $C^*$-algebras. We show that the association of a groupoid to its maximal (minimal) groupoid $C^*$-algebra and the association of a partial morphism to its induced morphism are functors (both of which extend the Gelfand functor). We show how to geometrically visualize lots of $*$-morphisms between groupoid $C^*$-algebras. As an application, we construct a groupoid models of the entire inductive systems of the Jiang-Su algebra $\mathcal{Z}$ and the Razak-Jacelon algebra $\mathcal{W}$.

研究动机与目标

• 开发一种系统性的、函子性的方法，通过广群对 $C^*$-代数进行建模，扩展经典的 Gelfand 对偶性。
• 定义并研究诱导出其最大与最小广群 $C^*$-代数上 $*$-同态的部分广群态射。
• 证明赋与 $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$ 的映射是函子，且保持有限和，并将逆极限映射为直极限。
• 通过部分态射几何地可视化广群 $C^*$-代数之间的 $*$-同态。
• 利用广群的逆系统，独立于分类理论，为 Jiang-Su 代数 $\mathcal{Z}$ 和 Razak-Jacelon 代数 $\mathcal{W}$ 构造显式的广群模型。

提出的方法

• 引入一个范畴 $\mathcal{G}$，其对象为带有哈尔测度系的局部紧广群，态射定义为保持哈尔测度系的部分态射。
• 从 $\mathcal{G}$ 到带有 $*$-同态的 $C^*$-代数范畴，定义两个反变函子 $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$。
• 证明 $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$ 扩展了经典的 Gelfand 对偶性函子，并在带有部分适当连续映射的局部紧 Hausdorff 空间范畴与交换 $C^*$-代数范畴之间建立等价关系。
• 将函子应用于构造广群的逆序列，其在 $\Gamma_{\text{min}}$ 或 $\Gamma_{\text{max}}$ 下的像重现了原始构造中用于 $\mathcal{Z}$ 和 $\mathcal{W}$ 的归纳系统。
• 利用这些广群序列的逆极限，生成 $\mathcal{Z}$ 和 $\mathcal{W}$ 的广群模型，证明所得的 $C^*$-代数分别同构于目标代数。
• 通过 2-上闭链将该框架推广至扭曲广群 $C^*$-代数，从而扩展其在更广泛 $C^*$-代数类别中的适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否发展一种函子性且几何化的框架，通过广群对 $C^*$-代数进行建模，从而扩展 Gelfand 对偶性？
• RQ2 广群的部分态射如何诱导其最大与最小 $C^*$-代数上的 $*$-同态？
• RQ3 广群系统逆极限是否能在不依赖分类理论的前提下，用于建模 $\mathcal{Z}$ 和 $\mathcal{W}$ 构造中使用的归纳系统？
• RQ4 $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$ 函子在多大程度上保持有限和与逆极限等范畴结构？
• RQ5 Jiang-Su 代数 $\mathcal{Z}$ 和 Razak-Jacelon 代数 $\mathcal{W}$ 是否能通过此框架实现为广群 $C^*$-代数？

主要发现

• 证明了 $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$ 是从带有部分态射的广群范畴到带有 $*$-同态的 $C^*$-代数范畴的反变函子。
• 这两个函子均保持有限和，并将广群范畴中的逆极限映射为 $C^*$-代数范畴中的直极限。
• $\Gamma_{\text{max}}$ 和 $\Gamma_{\text{min}}$ 函子扩展了经典的 Gelfand 对偶性，且为满函子并本质上满射，从而在带有部分适当连续映射的局部紧 Hausdorff 空间范畴与交换 $C^*$-代数范畴之间建立等价关系。
• 构造了一个广群的逆系统，其在 $\Gamma_{\text{min}}$ 或 $\Gamma_{\text{max}}$ 下的像重现了原始构造中用于 Jiang-Su 代数 $\mathcal{Z}$ 的归纳系统。
• 类似地，为 Razak-Jacelon 代数 $\mathcal{W}$ 构造了一个广群的逆系统，其广群系统的逆极限生成了 $\mathcal{W}$ 的广群模型。
• 由逆极限所得的 $C^*$-代数分别同构于 $\mathcal{Z}$ 和 $\mathcal{W}$，从而在不使用分类理论的前提下，提供了显式的广群模型。