[论文解读] Growth in finite simple groups of Lie type of bounded rank

László Pyber, Endre Szabó|arXiv (Cornell University)|May 11, 2010

Finite Group Theory Research参考文献 42被引用 67

一句话总结

本文证明了在有界秩的李型有限单群中，生成集在乘法下迅速增长，即要么 $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$，要么 $A^3 = L$，其中 $\varepsilon > 0$ 仅依赖于李秩。这表明凯莱图具有对数多对数直径界，并由此构造出新的膨胀图族，从而解决了巴拜关于有限单群直径的猜想中的关键情形。

ABSTRACT

We prove that if L is a finite simple group of Lie type and A a symmetric set of generators of L, then A grows i.e |AAA| > |A|^{1+epsilon} where epsilon depends only on the Lie rank of L, or AAA=L. This implies that for a family of simple groups L of Lie type of bounded rank the diameter of any Cayley graph is polylogarithmic in |L|. We obtain a similar bound for the diameters of all Cayley graphs of perfect subgroups of GL(n,p) generated by their elements of order p. We also obtain some new families of expanders. We also prove the following partial extension. Let G be a subgroup of GL(n,p), p a prime, and S a symmetric set of generators of G satisfying |S^3|\le K|S| for some K. Then G has two normal subgroups H\ge P such that H/P is soluble, P is contained in S^6 and S is covered by K^c cosets of H where c depends on n. We obtain results of similar flavour for sets generating infinite subgroups of GL(n,F), F an arbitrary field.

研究动机与目标

• 为解决巴拜关于有界秩李型有限单群凯莱图直径的猜想。
• 在这些群中建立统一的增长现象，表明小生成集在乘法下迅速增长。
• 从增长结果推导出新的膨胀图族。
• 将增长框架扩展至 $GL(n,p)$ 的子群以及任意域上的无限线性群。

提出的方法

• 结合代数几何、多项式方法与群论技术，分析李型有限单群中集合的增长。
• 应用代数簇及其态射的次数概念，以控制群作用下原像的分量数与次数。
• 在多元设置下使用欧几里得算法与多项式除法，以控制递归划分过程中中间代数集的次数。
• 利用代数群及其子群的结构，将问题约化至有界秩情形并应用归纳法。
• 应用盖尔斯与赫尔福格特关于乘积集与膨胀的结果，将增长结果推广至任意有界秩李型有限单群。
• 使用 $K$-近似群的概念，并通过可解正规子群的陪集覆盖对称集，以分析非生成集。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意有界秩李型有限单群的对称生成集 $A$，是否满足 $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$，其中 $\varepsilon > 0$ 仅依赖于秩？
• RQ2 此类群的凯莱图直径是否可被群阶的对数多对数函数有界？
• RQ3 增长结果是否意味着这些群的凯莱图中存在膨胀图族？
• RQ4 增长框架是否可扩展至 $GL(n,p)$ 的子群及任意域上的无限线性群？
• RQ5 增长指数 $\varepsilon$ 对李秩 $r$ 的依赖关系如何？是否为必要条件？

主要发现

• 对于任意有界秩 $r$ 的李型有限单群 $L$ 及任意对称生成集 $S$，凯莱图 $\Gamma(L,S)$ 的直径被 $(\log|L|)^{c(r)}$ 有界，其中常数 $c(r)$ 仅依赖于 $r$。
• 要么 $A^3 = L$，要么 $|A^3| \gg |A|^{1+\varepsilon}$，其中 $\varepsilon > 0$ 仅依赖于秩 $r$，从而证明了有界秩群中的统一增长。
• 作者构造了显式例子，表明 $\varepsilon$ 对 $r$ 的依赖关系是必要的：在 $SL(n,3)$ 中，存在大小为 $2^{n-1}+4$ 的生成集，使得 $|A^3| < 100|A|$。
• 该结果表明，有界秩李型有限单群的凯莱图构成具有对数多对数直径的膨胀图族。
• 已证明部分推广：若 $G \leq GL(n,p)$ 且满足 $|S^3| \leq K|S|$，则存在正规子群 $H \geq P$，使得 $H/P$ 是可解群，$P \subseteq S^6$，且 $S$ 可被 $K^c$ 个 $H$ 的陪集覆盖，其中 $c$ 依赖于 $n$。
• 该增长结果意味着对 $SL(n,p)$（模为素数）的鲍林-加姆伯德膨胀猜想成立，因为所需的增长条件现已得到验证。