[论文解读] Growth of Odd Torsion Over Imaginary Quadratic Fields of Class Number 1

Irmak Balçık|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2021

Meromorphic and Entire Functions被引用 1

一句话总结

该论文分类了在类数为1的虚二次域的二次扩张中可能出现的奇数阶扭子群（排除分圆域）。利用模曲线、同源理论及计算数论方法——包括对称Chabauty和Mordell-Weil筛法——证明了在集合 S = {Q(√−2), Q(√−7), Q(√−11), Q(√−19), Q(√−43), Q(√−67), Q(√−163)} 中的非分圆域上，二次扩张中可能存在的奇数扭子群仅为 Zn（n ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15}）以及 Z3 ⊕ Z3、Z3 ⊕ Z9，其中后者仅出现在 Q(√−2) 或 Q(√−11) 上。

ABSTRACT

Let $K$ be a non-cylotomic imaginary quadratic field of class number 1 and $E/K$ is an elliptic curve with $E(K)[2]\simeq \mathbb{Z}_1.$ We determine the odd-order torsion groups that can arise as $E(L)_{ ext{tor}}$ where $L$ is a quadratic extension of $K.$

研究动机与目标

• 确定在类数为1的非分圆虚二次域的二次扩张中可能出现的全部奇数阶扭子群。
• 将此前关于 Q 和分圆域上扭子群增长的研究扩展至剩余的类数为1的虚二次域。
• 通过先进的算术几何技术，解决模曲线 X0(N) 的亏格较高（特别是 N = 77）时的奇数扭子群增长问题。
• 证明 Z3 ⊕ Z9 和 Z11 仅在 Q(√−2) 和 Q(√−11) 上的特定扩张中出现，而不会在集合中的其他域上出现。

提出的方法

• 利用 K-有理循环 N-同源理论，将其与模曲线 X0(N) 上的有理点联系起来。
• 应用对称Chabauty方法和Mordell-Weil筛法，计算高亏格模曲线上的二次点，特别是亏格为7的 X0(77)。
• 使用Mumford表示法与雅可比簇上的有理点，对 N = 33, 35 的超椭圆曲线 X0(N) 上的例外二次点进行分类。
• 对 X0(N) 在 K 上具有正秩的情形，采用分裂多项式方法，避免直接枚举点的不可行性。
• 利用 Siksek 和 Ozman 关于亏格3和5曲线的结果，以及 Ozman 对 N = 35 的二次扭分类结果。
• 结合计算代数几何、类域论与扭子群分析，排除不可能的配置。

实验结果

研究问题

• RQ1 在类数为1的非分圆虚二次域 K 的二次扩张 L 上，椭圆曲线 E 的 E(L)tor 可能出现哪些奇数阶扭子群？
• RQ2 对于哪些 K ∈ S 和哪些扭子群 G，存在一个二次扩张 L，使得对某个 E/K 有 E(L)tor ≃ G？
• RQ3 为何 Z3 ⊕ Z9 和 Z11 仅出现在 Q(√−2) 和 Q(√−11) 上，而不会出现在集合 S 的其他域上？
• RQ4 循环 N-同源在限制二次扩张中奇数扭子群增长方面起到什么作用？
• RQ5 如何有效分析高亏格模曲线（如 X0(77)）以确定与扭子群增长相关的全部二次点？

主要发现

• 在 K ∈ S 的二次扩张中，可能存在的奇数阶扭子群仅为 Zn（n ∈ {1, 3, 5, 7, 9, 11, 15}）以及 Z3 ⊕ Z3、Z3 ⊕ Z9。
• Z3 ⊕ Z9 仅出现在 K = Q(√−2) 或 Q(√−11) 上，而不会出现在 S 中的其他域上。
• Z11 和 Z15 在任何 K ∈ S 的二次扩张中都不会增长，因为此类增长需要存在循环 55-和 77-同源，而这些在这些域上不可能存在。
• Z7 在任何二次扩张中都不会增长，因为这将要求存在循环 77-同源，而这类同源在 K ∈ S 的二次扩张上不存在。
• 当 E(K)tor ≃ Z15 时，二次扭 Ed(K)tor 始终是平凡的，确认了不存在增长。
• 该论文完成了对类数为1的所有虚二次域上奇数扭子群增长的完整分类，包括此前未被分类的非分圆情形。