[论文解读] Hölder continuity of Lyapunov exponent for quasi-periodic Jacobi operators

Kai Tao|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2011

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 2被引用 4

一句话总结

该论文在频率满足强丢番图条件的前提下，建立了准周期雅可比算子的李雅普诺夫指数的赫尔德连续性。通过将鲍尔根与吉托米尔斯基亚改进的戈德斯坦-施拉格方法进一步精细化，证明了若在某能量 $E_0$ 处李雅普诺夫指数为正，则其在局部范围内具有赫尔德连续性，赫尔德指数 $\beta = \beta(a,b,\omega)$ 仅依赖于势函数与频率，而不依赖于 $E_0$。该结果在李雅普诺夫指数保持正定的任意紧区间上一致成立。

ABSTRACT

We consider the quasi-periodic Jacobi operator $H_{x,ω}$ in $l^2(\mathbb{Z})$ $(H_{x,ω}ϕ)(n) = -b(x+(n+1)ω)ϕ(n+1) - b(x+nω)ϕ(n-1) + a(x+nω)ϕ(n) = Eϕ(n),\ n\in\mathbb{Z},$ where $a(x),\ b(x)$ are analytic function on $\mathbb{T}$, $b$ is not identically zero, and $ω$ obeys some strong Diophantine condition. We consider the corresponding unimodular cocycle. We prove that if the Lyapunov exponent $L(E)$ of the cocycle is positive for some $E=E_0$, then there exists $ρ_0=ρ_0(a,b,ω,E_0)$, $β=β(a,b,ω)$ such that $|L(E)-L(E')|0$ for all $E$ in some compact interval $I$ then $L(E)$ is Hölder continuous on $I$ with a Hölder exponent $β=β(a,b,ω,I)$. In our derivation we follow the refined version of the Goldstein-Schlag method \cite{GS} developed by Bourgain and Jitomirskaya \cite{BJ}.

研究动机与目标

• 建立当李雅普诺夫指数在某能量处为正时，准周期雅可比算子的李雅普诺夫指数的局部赫尔德连续性。
• 将李雅普诺夫指数的正则性理论推广至与解析准周期雅可比矩阵相关的单模cocycle。
• 以解析数据 $a(x), b(x)$ 和丢番图频率 $\omega$ 表示赫尔德指数 $\beta$，且该表达式与能量 $E_0$ 无关。
• 证明李雅普诺夫指数在任意紧区间上保持赫尔德连续，只要其在该区间上一致为正。

提出的方法

• 利用雅可比算子转移矩阵导出的单模cocycle表示 $\tilde{M}_N(x,E,\omega)$ 控制增长并归一化行列式。
• 通过鲍尔根-吉托米尔斯基亚方法改进的戈德斯坦-施拉格方法，建立cocycle范数的大偏差估计。
• 通过有界转移矩阵对数范数差值的扰动论证，比较接近能量 $E, E'$ 处的 $L(E)$ 与 $L(E')$。
• 利用次可加遍历定理，将李雅普诺夫指数 $L(E,\omega)$ 定义为对数范数的平均值的极限。
• 采用形式为 $\|n\omega\| \geq C_\omega / (n(\log n)^\alpha)$ 的 $\omega$ 的丢番图条件，以确保充分的丢番图逼近性质。
• 建立异常集合的测度指数衰减，使得范数偏离其平均值时，可控制差值 $|L(E) - L(E')|$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，准周期雅可比算子的李雅普诺夫指数在能量上是赫尔德连续的？
• RQ2 赫尔德指数 $\beta$ 是否能以解析数据 $a(x), b(x)$ 和频率 $\omega$ 的形式统一有界，且与能量 $E_0$ 无关？
• RQ3 当李雅普诺夫指数在某点 $E_0$ 为正时，其最优赫尔德指数 $\beta$ 是多少？
• RQ4 李雅普诺夫指数的正则性是否可延拓至其在整个区间上保持正定的紧区间？

主要发现

• 若在某能量 $E_0$ 处李雅普诺夫指数 $L(E_0) > 0$，则 $L(E)$ 在邻域 $ (E_0 - \rho_0, E_0 + \rho_0) $ 内局部赫尔德连续，赫尔德指数为 $\beta = \beta(a,b,\omega)$。
• 赫尔德指数 $\beta$ 仅依赖于解析函数 $a(x), b(x)$ 和丢番图频率 $\omega$，而不依赖于 $E_0$。
• 对于任意紧区间 $I$，若对所有 $E \in I$ 都有 $L(E) > 0$，则李雅普诺夫指数在 $I$ 上以指数 $\beta = \beta(a,b,\omega,I)$ 赫尔德连续。
• 在 $E_0$ 的邻域内，对所有 $E, E'$ 都有 $|L(E) - L(E')| \leq |E - E'|^\beta$，其中 $\beta = \frac{c_7}{12 + 2c_7}$，$c_7 = c_7(a,b,\omega)$ 为某常数。
• 证明依赖于大偏差估计和异常集合的测度衰减，确保对数范数的差值由 $|E - E'|$ 控制。
• 该结果在强丢番图条件 $\|n\omega\| \geq C_\omega / (n(\log n)^\alpha)$（$\alpha > 1$）下成立，该条件对几乎所有 $\omega$ 成立。