[论文解读] H{ö}lder continuity of random processes

Witold Bednorz|ArXiv.org|Mar 19, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文通过放松Majorizing Measure理论中Young函数$φ$的条件，扩展了随机过程Hölder连续性的结果。引入了一种类下界度量$\tau_{m,\varphi}$，并在$φ$的生长条件减弱的情况下，证明了可分过程的归一化增量上确界在期望上有界，从而确保了样本路径的正则性。主要贡献在于将Kwapien和Rosinski的结果推广至非指数型$φ$函数之外。

ABSTRACT

The paper will be published in JOTP. In the paper we prove Holder Continuity for ceratian classes of processes with bounded increments. The paper generalizes results obtained by Kwapien and Rosinski in Sample H{ö}lder continuity of stochastic processes and majorizing measures. extit{Seminar on Stochastic Analysis, Random Fields and Applications IV, Progr. in Probab.} {\bf 58}, 155--163. Birkh{ä}user, Basel.

研究动机与目标

• 将Majorizing Measure方法推广至Young函数$φ$不满足$\triangle^2$条件的情形，以证明随机过程的Hölder连续性。
• 建立Young函数$φ$的充分条件，使得类下界度量$\tau_{m,\varphi}$控制具有$φ$-有界增量的可分过程的增量。
• 放松对$φ$必须呈指数增长（即满足$\triangle^2$）的要求，使方法可应用于更广泛的函数类，包括多项式型$φ_p(x) = x^p$。
• 在$T \times T$上构造一个概率测度$\nu$，使得增量过程的Orlicz范数通过$\tau_{m,\varphi}$控制模连续性。
• 证明在$φ$的温和增长条件下，归一化增量上确界的期望被一个绝对常数控制，从而确保样本路径几乎必然连续。

提出的方法

• 在紧致度量空间$(T,d)$上，对Borel概率测度$m$，定义类下界度量$\tau_{m,\varphi}(s,t) = \max\left\{ \int_0^{d(s,t)} \varphi^{-1}\left(\frac{1}{m(B(s,\varepsilon))}\right) d\varepsilon, \int_0^{d(s,t)} \varphi^{-1}\left(\frac{1}{m(B(t,\varepsilon))}\right) d\varepsilon \right\}$。
• 引入一类满足递减比值条件的新Young函数：对$k \geq 1$，有$\frac{\varphi(R^k)}{\varphi(R^{k+1})} \leq \frac{\varphi(R^{k-1})}{\varphi(R^k)}$，该条件弱化了$\triangle^2$条件。
• 通过加权求和在二进制环带上的测度，构造$T \times T$上的概率测度$\nu$，并利用函数$r_k(u)$对增量进行局部化。
• 使用Fubini定理和Orlicz范数估计，将差值$|f(s) - f(t)|$以$\tau_{m,\varphi}(s,t)$和增量函数$f^d(u,v) = |f(u) - f(v)| / d(u,v)$的$\psi_+$-Orlicz范数表示。
• 应用$\nabla'$条件控制$\varphi_+$的增长，从而利用次可加性和齐次性推导出归一化增量的统一有界性。
• 在$φ$的新条件下，证明$\mathbf{E} \sup_{s,t} \varphi\left( \frac{|X(s)-X(t)|}{K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \right) \leq 1$，其中$K$为绝对常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Majorizing Measure方法推广至不满足$\triangle^2$条件的Young函数，以证明Hölder连续性？
• RQ2 在何种弱化条件下，$\varphi$仍能保证类下界度量$\tau_{m,\varphi}$控制具有$\varphi$-有界增量的可分过程的增量？
• RQ3 能否在$T \times T$上构造一个概率测度$\nu$，使得增量函数的Orlicz范数通过$\tau_{m,\varphi}$控制模连续性？
• RQ4 新框架在多项式型函数$\varphi_p(x) = x^p$（对$p < \infty$不满足$\triangle^2$条件）下表现如何？
• RQ5 在$\varphi$的生长假设弱化时，归一化增量上确界的期望是否仍可被统一有界？

主要发现

• 本文证明：对于满足递减比值条件(1)和可 summability 条件(2)的Young函数$\varphi$，存在有限常数$K$，使得对任意具有$\psi$-有界增量的可分过程$X$，有$\mathbf{E} \sup_{s,t} \frac{|X(s)-X(t)|}{2K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \leq 1$。
• 若$\psi \in \nabla'$，则有$\mathbf{E} \sup_{s,t} \psi\left( \frac{|X(s)-X(t)|}{2K \tau_{m,\varphi}(s,t)} \right) \leq 1$，提供更强的尾部控制。
• 在温和条件下，类下界度量$\tau_{m,\varphi}$与某度量$\rho$等价，且满足$\tau_{m,\varphi}(s,t) \leq K \rho(s,t)$（$K > 0$），从而保证正则性。
• 对多项式函数$\varphi_p(x) = x^p$（$p \geq 1$），该方法虽给出较弱但仍有效的结果，扩展了对非指数型函数的应用范围。
• 在$T \times T$上构造的测度$\nu$确保了Orlicz范数$|f^d|^{\nu}_{\psi_+}$以因子$K \tau_{m,\varphi}(s,t)$控制增量$|f(s)-f(t)|$。
• 常数$K$仅依赖于$\varphi$、$\psi$和参数$R > 1$，且显式有界：$K = (1+2D)R^{n_0+1}K_0$，其中$K_0$依赖于测度$m$和$\varphi$。