[论文解读] Hölder estimates for viscosity solutions of equations of fractional $p$-Laplace type

Erik Lindgren|arXiv (Cornell University)|May 26, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文通过Krylov-Safonov型方法，为非局部、可能退化或奇异的分数阶 $p$-拉普拉斯型方程的粘性解建立了最优Hölder正则性估计。关键结果表明，即使 $p$ 和 $s$ 随 $x$ 变化且缺乏正则性，有界粘性解也具有显式依赖于 $p$、$s$ 和核函数椭圆常数的局部Hölder连续性，其Hölder指数明确可得。

ABSTRACT

We prove Hölder estimates for viscosity solutions of a class of possibly degenerate and singular equations modelled by the fractional $p$-Laplace equation $$ ext{PV} \int_{\mathbb{R}^n}\frac{|u(x)-u(x+y)|^{p-2}(u(x)-u(x+y))}{|y|^{n+sp}}\, dy =0, $$ where $s\in (0,1)$ and $p>2$ or $1/(1-s)

研究动机与目标

• 为非局部分数阶 $p$-拉普拉斯型方程的有界粘性解建立局部Hölder连续性，即使方程退化或奇异。
• 将先前针对弱解的Hölder估计推广至非散度型框架，特别是非散度型设定下的情况。
• 在不假设 $p$ 或 $s$ 正则性的前提下，处理变指数 $p(x)$ 和变阶 $s(x)$，仅在核 $K(x,y)$ 上施加最小结构假设。
• 提供一种统一方法，适用于具有满足幂律界的一般非对称核的齐次与非齐次方程。
• 通过将Krylov-Safonov方法适配至非局部、非齐次设定，弥合散度型与非散度型非局部方程之间的差距。

提出的方法

• 将Krylov-Safonov方法适配至具有变指数 $p(x)$ 和 $s(x)$ 的非局部、非散度型方程，基于振幅衰减的尺度变换与迭代论证。
• 定义障碍函数 $v = u + k\beta$，其中 $\beta(x) = |x|^\eta$，以控制振幅，并推导非局部算子 $L(u + k\beta)$ 的上下界。
• 利用非局部算子 $Lu = \mathrm{PV}\int |u(x)-u(x+y)|^{p-2}(u(x)-u(x+y))K(x,y)\,dy$ 的主值积分形式，分析粘性次解。
• 通过假设解不满足Hölder条件，利用核函数的有界性推导算子估值中的矛盾，从而实现振幅衰减的矛盾论证。
• 应用尺度变换技术对解进行归一化，将问题简化至通用尺度，从而获得与原始解大小无关的统一估计。
• 利用核函数假设：在原点附近 $\lambda/|y|^{n+sp} \leq K(x,y) \leq \Lambda/|y|^{n+sp}$，在无穷远处 $K(x,y) \leq M/|y|^{n+\gamma}$，其中 $\gamma > 0$，以控制尾部贡献。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 和 $s$ 允许随 $x$ 变化时，能否为非局部 $p$-拉普拉斯型方程的粘性解建立Hölder正则性？
• RQ2 核函数 $K(x,y)$ 需满足何种条件，才能确保有界粘性解在退化或奇异情形下仍为局部Hölder连续？
• RQ3 当 $p$ 不固定时，Hölder指数如何依赖于参数 $p$、$s$ 以及椭圆常数 $\lambda$、$\Lambda$？
• RQ4 Krylov-Safonov方法能否推广至具有变指数和非光滑核的非局部非散度型方程？
• RQ5 在非齐次情形下，Hölder半范数对解的 $L^\infty$ 范数及右端项 $f$ 的最优依赖关系为何？

主要发现

• 齐次分数阶 $p$-拉普拉斯方程的有界粘性解在 $B_1$ 内局部Hölder连续，其Hölder半范数受解的 $L^\infty$ 范数控制。
• Hölder指数 $\alpha$ 显式依赖于 $\lambda$、$\Lambda$、$M$、$p$、$s$ 和 $\gamma$，且 $\alpha$ 下方有由这些参数决定的正下界。
• 对于满足 $p(x) \in (p_0, p_1)$ 和 $s(x) \in (s_0, s_1)$ 的变指数方程，当 $p(x) < 2$ 时，在条件 $p(x)(1-s(x)) - 1 > \tau > 0$ 下，Hölder正则性成立。
• 在非齐次情形下，解的Hölder半范数受常数倍 $\|u\|_{L^\infty} + \max(\|f\|_{L^\infty}^{1/(p_0-1)}, \|f\|_{L^\infty}^{1/(p_1-1)})$ 控制，显示出对右端项的正确依赖关系。
• 即使 $p$ 和 $s$ 是 $x$ 的不连续函数，只要其保持在所需范围内，且无需 $p(x)$ 或 $s(x)$ 的可微性或Hölder连续性，该方法仍适用。
• 结果可推广至满足原点附近幂律上下界及无穷远处衰减条件的核 $K(x,y)$，无需对称性或光滑性要求。