[论文解读] Hamiltonian Algebroid Symmetries in W-gravity and Poisson sigma-model

A. Levin, Olshanetsky|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文引入哈密顿丛代数（Hamiltonian algebroids）作为典范变换李代数的推广，通过将基空间上的李丛提升至余切丛的主仿射丛上的哈密顿作用而构造。这些丛代数的BRST算符被证明在反粒子场中为三次型，推广了李代数情形。主要成果包括对$W_3$-重力与泊松σ模型的BRST形式化，以及通过Chern-Simons理论推导出丛代数对称性的起源。

ABSTRACT

Starting from a Lie algebroid ${\cal A}$ over a space V we lift its action to the canonical transformations on the principle affine bundle ${\cal R}$ over the cotangent bundle $T^*V$. Such lifts are classified by the first cohomology $H^1({\cal A})$. The resulting object is the Hamiltonian algebroid ${\cal A}^H$ over ${\cal R}$ with the anchor map from $\G({\cal A}^H)$ to Hamiltonians of canonical transformations. Hamiltonian algebroids generalize the Lie algebras of canonical transformations. We prove that the BRST operator for ${\cal A}^H$ is cubic in the ghost fields as in the Lie algebra case. To illustrate this construction we analyze two topological field theories. First, we define a Lie algebroid over the space $V_3$ of $\SL$-opers on a Riemann curve $\Si_{g,n}$ of genus g with n marked points. The sections of this algebroid are the second order differential operators on $\Si_{g,n}$. The algebroid is lifted to the Hamiltonian algebroid over the phase space of $W_3$-gravity. We describe the BRST operator leading to the moduli space of $W_3$-gravity. In accordance with the general construction the BRST operator is cubic in the ghost fields. We present the Chern-Simons explanation of our results. The second example is the Hamiltonian algebroid structure in the Poisson sigma-model invoked by Cattaneo and Felder to describe the Kontsevich deformation quantization formula. The hamiltonian description of the Poisson sigma-model leads to the Lie algebraic form of the BRST operator.

研究动机与目标

• 通过将基空间上的李丛提升至相空间，推广典范变换的李代数为哈密顿丛代数。
• 利用李丛的上同调群$H^1({\cal A})$对这类提升进行分类。
• 为哈密顿丛代数构造一个在反粒子场中具有三次依赖关系的BRST算符，以扩展李代数结构。
• 将该框架应用于$W_3$-重力与泊松σ模型，推导其BRST结构，并与形变量子化相联系。
• 为$W_3$-重力中的丛代数对称性提供基于Chern-Simons场论的推导。

提出的方法

• 将基空间$V$上的李丛${\cal A}$提升至$T^*V$上主仿射丛${\cal R}$上的哈密顿丛代数${\cal A}^H$。
• 利用上同调$H^1({\cal A})$对李丛作用提升为典范变换的可能方式加以分类。
• 将BRST算符$\Omega$构造为反粒子场中的秩一算符，其在反粒子场$\eta_j$中具有三次依赖关系。
• 将BRST形式化应用于$W_3$-重力，以${\rm SL}(3,{\bf C})$-主从丛的空间作为基空间，以二阶微分算符作为截面。
• 通过分析约束与对偶算符，在泊松σ模型中推导出哈密顿丛代数结构，表明其与BRST形式一致。
• 利用两步规范固定法的Chern-Simons理论，解释$W_3$-重力中丛代数对称性的起源。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将李丛对称性提升为余切丛主仿射丛上的哈密顿作用？
• RQ2 $H^1({\cal A})$在分类此类提升中起什么作用？
• RQ3 哈密顿丛代数的BRST算符是否保留了李代数中所见的三次反粒子场结构？
• RQ4 哈密顿丛代数框架能否在$W_3$-重力与泊松σ模型中实现一致的BRST量子化？
• RQ5 $W_3$-重力中丛代数对称性的Chern-Simons起源是什么？

主要发现

• 哈密顿丛代数${\cal A}^H$的BRST算符在反粒子场中为三次型，保持了李代数BRST理论中的结构特征。
• 李丛向哈密顿丛代数的提升由第一上同调群$H^1({\cal A})$分类。
• 在$W_3$-重力中，基空间为黎曼曲面$\Sigma_{g,n}$上${\rm SL}(3,{\bf C})$-主从丛的空间，截面由二阶微分算符给出。
• 相空间的辛商给出${\cal W}_3$-几何，结合了广义复结构的模空间与自旋-2及自旋-3场。
• 在泊松σ模型中，哈密顿丛代数结构导出形式为李代数的BRST算符，与Cattaneo与Felder的形变量子化框架一致。
• Chern-Simons理论通过两步规范固定法，解释了$W_3$-重力中丛代数对称性的出现。