[论文解读] Hamiltonian Simulation by Uniform Spectral Amplification

Guang Hao Low, Isaac L. Chuang|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 40

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子算法用于哈密顿量模拟，通过量子信号处理和幅值乘法实现均匀谱放大，实现了 $d$-稀疏哈密顿量的最优查询复杂度 $\mathcal{O}\left(t(d\|\hat{H}\|_{\text{max}}\|\hat{H}\|_{1})^{1/2}\log{(t\|\hat{H}\|/\epsilon)}\right)$。该方法利用了哈密顿量及其酉编码的结构知识，在稀疏性和范数参数方面相比先前工作实现了多项式因子的改进，并通过匹配的下界证明了其最优性。

ABSTRACT

The exponential speedups promised by Hamiltonian simulation on a quantum computer depends crucially on structure in both the Hamiltonian $\hat{H}$, and the quantum circuit $\hat{U}$ that encodes its description. In the quest to better approximate time-evolution $e^{-i\hat{H}t}$ with error $ε$, we motivate a systematic approach to understanding and exploiting structure, in a setting where Hamiltonians are encoded as measurement operators of unitary circuits $\hat{U}$ for generalized measurement. This allows us to define a \emph{uniform spectral amplification} problem on this framework for expanding the spectrum of encoded Hamiltonian with exponentially small distortion. We present general solutions to uniform spectral amplification in a hierarchy where factoring $\hat{U}$ into $n=1,2,3$ unitary oracles represents increasing structural knowledge of the encoding. Combined with structural knowledge of the Hamiltonian, specializing these results allow us simulate time-evolution by $d$-sparse Hamiltonians using $\mathcal{O}\left(t(d \|\hat H\|_{ ext{max}}\|\hat H\|_{1})^{1/2}\log{(t\|\hat{H}\|/ε)} ight)$ queries, where $\|\hat H\|\le \|\hat H\|_1\le d\|\hat H\|_{ ext{max}}$. Up to logarithmic factors, this is a polynomial improvement upon prior art using $\mathcal{O}\left(td\|\hat H\|_{ ext{max}}+\frac{\log{(1/ε)}}{\log\log{(1/ε)}} ight)$ or $\mathcal{O}(t^{3/2}(d \|\hat H\|_{ ext{max}}\|\hat H\|_{1}\|\hat H\|/ε)^{1/2})$ queries. In the process, we also prove a matching lower bound of $Ω(t(d\|\hat H\|_{ ext{max}}\|\hat H\|_{1})^{1/2})$ queries, present a distortion-free generalization of spectral gap amplification, and an amplitude amplification algorithm that performs multiplication on unknown state amplitudes.

研究动机与目标

• 开发一种系统性框架，用于利用哈密顿量及其酉编码中的结构知识，以提高量子模拟效率。
• 解决一个开放问题：除了稀疏性和最大范数之外，额外的结构知识是否能在哈密顿量模拟中实现查询复杂度的多项式改进？
• 将谱放大技术统一并推广至统一谱放大的通用框架下，涵盖量子信号处理和幅值放大。
• 建立与上界匹配的紧致下界，证明所提查询复杂度的最优性。

提出的方法

• 本文在结构知识层级中形式化了统一谱放大的问题：$n=1,2,3$ 个酉预言机编码哈密顿量，从而实现对结构的逐步利用。
• 提出专为统一谱放大设计的量子信号处理技术，可对编码哈密顿量的谱实现精确控制，且具有指数级小的失真。
• 开发了一种新颖的幅值乘法算法，可在未知态振幅上执行乘法操作，从而在无需事先了解振幅的情况下实现高效的谱整形。
• 该方法将 $d$-稀疏哈密顿量的模拟问题转化为对低能量谱分量进行统一放大的问题，利用截断线性和间隙函数的多项式逼近。
• 通过在伯恩斯坦椭圆上使用切比雪夫多项式逼近，构造出具有可控误差的 $n$ 次多项式，确保有界算子范数和谱保真度。
• 通过标准形式变换证明了该框架的普遍性，表明任何哈密顿量编码均可转化为与所提放大技术兼容的形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 除了稀疏性和最大范数之外，是否可以系统性地利用哈密顿量的额外结构知识，以降低哈密顿量模拟中的查询复杂度？
• RQ2 是否存在一个统一的框架，可将量子信号处理与幅值放大在哈密顿量模拟背景下统一为统一谱放大？
• RQ3 当已知谱范数 $\|\hat{H}\|$ 和 $1$-范数 $\|\hat{H}\|_1$ 时，模拟 $d$-稀疏哈密顿量所能达到的最优查询复杂度是多少？
• RQ4 是否可以将无失真的谱间隙放大从标准幅值放大推广至更广泛的应用场景？
• RQ5 所提出的查询复杂度 $\mathcal{O}\left(t(d\|\hat{H}\|_{\text{max}}\|\hat{H}\|_{1})^{1/2}\right)$ 是否最优，其匹配的下界是什么？

主要发现

• 本文在模拟 $d$-稀疏哈密顿量时实现了 $\mathcal{O}\left(t(d\|\hat{H}\|_{\text{max}}\|\hat{H}\|_{1})^{1/2}\log{(t\|\hat{H}\|/\epsilon)}\right)$ 的查询复杂度，优于先前结果中 $\mathcal{O}(td\|\hat{H}\|_{\text{max}})$ 或 $\mathcal{O}(t^{3/2}(d\|\hat{H}\|_{\text{max}}\|\hat{H}\|_{1}\|\hat{H}\|/\epsilon)^{1/2})$ 的复杂度。
• 证明了匹配的下界 $\Omega(t(d\|\hat{H}\|_{\text{max}}\|\hat{H}\|_{1})^{1/2})$，在对数因子范围内确立了查询复杂度的最优性。
• 提出了一种无失真的谱间隙放大推广，可在放大过程中精确控制谱分量而不引入误差。
• 开发了一种幅值乘法算法，可在未知态振幅上执行乘法，从而在量子算法中实现新型谱整形。
• 通过在伯恩斯坦椭圆上使用切比雪夫展开，构造了截断线性和间隙函数的多项式逼近，实现了 $\mathcal{O}(\epsilon)$ 的误差界，且多项式次数 $n = \mathcal{O}(\Delta^{-1/2}\log^{3/2}(1/(\Delta\epsilon)))$。
• 证明了该框架的普遍性：任何哈密顿量编码均可转换为与所提谱放大技术兼容的标准形式，确保了其广泛适用性。