[论文解读] Hands-Off Control as Green Control

Masaaki Nagahara, Daniel E. Quevedo+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文提出了一种名为无手控制（hands-off control）的绿色控制范式，通过最大化零控制时间间隔来最小化执行器使用，证明了最稀疏（最大无手）控制等价于$L^1$-最优控制。主要贡献在于提出了一种基于$L^1$最小化的凸优化框架，可高效计算稀疏控制，尤其适用于通过时间离散化和标准求解器实现的线性时不变系统。

ABSTRACT

In this article, we introduce a new paradigm of control, called hands-off control, which can save energy and reduce CO2 emissions in control systems. A hands-off control is defined as a control that has a much shorter support than the horizon length. The maximum hands-off control is the minimum support (or sparsest) control among all admissible controls. With maximum hands-off control, actuators in the feedback control system can be stopped during time intervals over which the control values are zero. We show the maximum hands-off control is given by L1 optimal control, for which we also show numerical computation formulas.

研究动机与目标

• 开发一种新型控制范式，通过延长零控制时间间隔来最小化执行器活动，从而降低能耗和二氧化碳排放。
• 解决在$L^0$-范数优化非凸性背景下，寻找最稀疏控制（即控制输入恰好为零的时间间隔最大化）的挑战。
• 建立基于$L^1$-最优控制作为可计算替代的理论与计算框架，以实现最大无手控制。
• 提出一种数值高效的计算方法，通过时间离散化和凸优化，求解线性时不变系统中的$L^1$-最优控制。

提出的方法

• 将最大无手控制定义为最稀疏控制，即在时间范围内最小化控制输入的$L^0$-范数。
• 理论上证明，在正常性条件下，$L^0$-最优控制问题等价于$L^1$-最优控制问题，从而实现凸松弛。
• 应用时间离散化，将连续时间最优控制问题转化为有限维凸优化问题。
• 使用$A_d = e^{Ah}$和$B_d = \int_0^h e^{At}B\,dt$对系统动态进行离散化，以在离散时间区间内建模状态转移。
• 将$L^1$-最优控制问题重新表述为凸优化问题，即最小化控制向量$\mathbf{U}$的$\ell^1$-范数，同时满足状态约束和幅值限制。
• 利用标准凸优化工具（如MATLAB中的CVX）高效求解离散化问题，充分发挥$L^1$-范数促进稀疏性的优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管$L^0$-范数具有非凸性，是否能够高效计算最稀疏控制——即最大化零控制输入时间间隔？
• RQ2 是否存在一个凸替代问题，可在标准条件下给出与$L^0$-最优控制问题相同的解？
• RQ3 如何对线性时不变系统中的$L^1$-最优控制进行数值计算，以实现最大无手控制行为？
• RQ4 $L^1$-最优控制与理论上的最大无手控制在稀疏性和系统性能方面有何关系？
• RQ5 所提出的方法能否扩展至网络化或嵌入式控制系统，以减少通信和能耗？

主要发现

• 在正常性假设下，最大无手控制（即最小化控制输入$L^0$-范数的最稀疏控制）等价于$L^1$-最优控制。
• $L^1$-最优控制问题提供了与非凸的$L^0$问题相同的解的凸松弛，从而实现高效的数值计算。
• 对于线性时不变系统，通过时间离散化，$L^1$-最优控制问题可被重新表述为凸优化问题，并使用标准求解器求解。
• 离散化公式使用$A_d = e^{Ah}$和$B_d = \int_0^h e^{At}B\,dt$在离散时间区间内近似连续时间动态。
• 所得优化问题为凸问题，受状态终值约束（$\mathbf{x}(T) = \mathbf{0}$）和执行器幅值限制（$\|\mathbf{U}\|_\infty \leq 1$）约束。
• 数值结果证实，$L^1$最小化能有效生成稀疏控制输入，实现长时间零执行，从而降低能耗和排放。