[论文解读] Hardness of Online Sleeping Combinatorial Optimization Problems

Satyen Kale, Chansoo Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Optimization and Search Problems被引用 10

一句话总结

本文证明，在动作动态不可用的睡眠设定下，在线组合优化问题（如在线最短路径、最小生成树和二分图匹配）变得计算困难。该文证明这些睡眠版本的问题至少与 PAC 学习 DNF 表达式一样困难，从而解决了在线学习领域的一个开放问题，并为若干基础问题建立了强有力的计算下界。

ABSTRACT

We show that several online combinatorial optimization problems that admit efficient no-regret algorithms become computationally hard in the sleeping setting where a subset of actions becomes unavailable in each round. Specifically, we show that the sleeping versions of these problems are at least as hard as PAC learning DNF expressions, a long standing open problem. We show hardness for the sleeping versions of Online Shortest Paths, Online Minimum Spanning Tree, Online k-Subsets, Online k-Truncated Permutations, Online Minimum Cut, and Online Bipartite Matching. The hardness result for the sleeping version of the Online Shortest Paths problem resolves an open problem presented at COLT 2015 [Koolen et al., 2015].

研究动机与目标

• 研究当动作动态不可用（即睡眠设定）时，在线组合优化问题的计算复杂性。
• 确定在这些问题的睡眠变体中，高效的无遗憾算法是否仍然可行。
• 通过将睡眠问题约化为长期悬而未决的 PAC 学习 DNF 表达式问题，建立计算困难性结果。
• 解决 COLT 2015 年提出的关于在线最短路径问题睡眠版本困难性的开放问题。

提出的方法

• 将 PAC 学习 DNF 表达式问题约化为在线组合优化问题的睡眠版本。
• 构建一个约化框架，以保持在睡眠约束下学习 DNF 的困难性。
• 证明：若存在针对睡眠变体的高效无遗憾算法，则可解决 PAC 学习 DNF 问题。
• 将该约化应用于多个具体问题：在线最短路径、最小生成树、k-子集、k-截断排列、最小割和二分图匹配。
• 运用组合与复杂性理论技术，证明睡眠设定从根本上增加了问题的难度。
• 正式证明睡眠版本的问题至少与 PAC 学习 DNF 一样困难，而该问题至今仍未解决。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线最短路径问题的睡眠版本是否计算困难，其复杂性是否与 PAC 学习 DNF 相当？
• RQ2 能否为标准在线组合优化问题的睡眠变体设计高效的无遗憾算法？
• RQ3 每轮中动作的动态不可用性在多大程度上增加了在线优化的计算复杂性？
• RQ4 PAC 学习 DNF 的困难性是否构成睡眠在线优化的计算障碍？
• RQ5 在多个组合问题中，将无遗憾算法扩展到睡眠设定是否存在根本性限制？

主要发现

• 在线最短路径、最小生成树、k-子集、k-截断排列、最小割和二分图匹配的睡眠版本，全部至少与 PAC 学习 DNF 表达式一样困难。
• 在线最短路径问题睡眠版本的困难性结果，解决了 COLT 2015 年提出的开放问题。
• 任何针对这些问题睡眠变体的高效无遗憾算法，都将意味着解决了长期悬而未决的 PAC 学习 DNF 问题。
• 睡眠设定引入的计算障碍，等价于在 PAC 模型中学习 DNF 公式的难度。
• 结果建立了强有力的负面结论：在这些基础问题的睡眠设定下，高效无遗憾学习极不可能实现。