[论文解读] Hardness of Vertex Deletion and Project Scheduling

Ola Svensson|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 10被引用 12

一句话总结

在唯一游戏猜想（Unique Games Conjecture）的假设下，本文建立了有向图上反馈顶点集（Feedback Vertex Set, FVS）和DAG顶点删除（DAG Vertex Deletion, DVD）问题的强不可近似性结果。证明表明，对于任意整数 $k \geq 2$ 及任意小的 $\epsilon > 0$，即使图几乎可划分为 $k$ 个解，这两个问题也无法在 $k - \epsilon$ 因子内被近似，该结果对离散时间-成本权衡问题的难解性具有重要意义。

ABSTRACT

Assuming the Unique Games Conjecture, we show strong inapproximability results for two natural vertex deletion problems on directed graphs: for any integer $k\geq 2$ and arbitrary small $ε> 0$, the Feedback Vertex Set problem and the DAG Vertex Deletion problem are inapproximable within a factor $k-ε$ even on graphs where the vertices can be almost partitioned into $k$ solutions. This gives a more structured and therefore stronger UGC-based hardness result for the Feedback Vertex Set problem that is also simpler (albeit using the "It Ain't Over Till It's Over" theorem) than the previous hardness result. In comparison to the classical Feedback Vertex Set problem, the DAG Vertex Deletion problem has received little attention and, although we think it is a natural and interesting problem, the main motivation for our inapproximability result stems from its relationship with the classical Discrete Time-Cost Tradeoff Problem. More specifically, our results imply that the deadline version is NP-hard to approximate within any constant assuming the Unique Games Conjecture. This explains the difficulty in obtaining good approximation algorithms for that problem and further motivates previous alternative approaches such as bicriteria approximations.

研究动机与目标

• 在唯一游戏猜想下，建立反馈顶点集（FVS）和DAG顶点删除（DVD）问题的强不可近似性结果。
• 通过将DVD问题与之关联，阐明经典离散时间-成本权衡问题的计算困难性。
• 提供一种更简洁的、基于唯一游戏猜想的FVS不可近似性证明，改进了以往依赖“只要未结束，就仍有可能”定理（"It Ain't Over Till It's Over" theorem）的方法，避免了复杂半定规划技术的使用。
• 证明DVD问题与FVS问题具有相同的近似难度，从而解释了为何项目调度的截止日期版本缺乏常数因子近似算法。

提出的方法

• 通过基于分层图和测试顶点的新型构造，将唯一游戏问题归约到FVS和DVD问题。
• 应用“只要未结束，就仍有可能”定理，放大归约中的间隙特性。
• 从DVD实例构造项目调度实例，其中成本函数强制与顶点删除相关的时间约束。
• 使用位顶点和测试顶点来模拟路径约束，并在所得图中强制实现最短路径长度。
• 证明：若存在一种着色方式使得常数比例的测试顶点被满足，则必然存在一条长路径，从而将图的结构性质与近似困难性联系起来。
• 形式化归约表明，截止日期问题的解可直接对应DVD问题的解，且近似比得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在唯一游戏猜想下，反馈顶点集问题是否能在任意 $k \geq 2$ 和 $\epsilon > 0$ 下实现 $k - \epsilon$ 因子内的近似？
• RQ2 DAG顶点删除问题是否与反馈顶点集问题具有相同的近似难度，是否继承了相同的不可近似性界？
• RQ3 在计算复杂性方面，DVD问题与离散时间-成本权衡问题之间存在何种关系？
• RQ4 能否构建一种更简洁的、基于唯一游戏猜想的FVS不可近似性证明，避免使用以往研究中复杂的工具？
• RQ5 在唯一游戏猜想下，离散时间-成本权衡问题的截止日期版本是否可能具有任何常数因子近似算法？

主要发现

• 在唯一游戏猜想成立的前提下，反馈顶点集问题无法在 $k - \epsilon$ 因子内被近似，其中 $k \geq 2$ 且 $\epsilon > 0$，即使图几乎可划分为 $k$ 个反馈顶点集亦然。
• 在相同条件下，DAG顶点删除问题同样无法在 $k - \epsilon$ 因子内被近似，确立了强有力的基于唯一游戏猜想的难解性结果。
• 从DVD到离散时间-成本权衡问题的归约表明，在唯一游戏猜想下，项目调度问题的截止日期版本无法在任何常数因子内被近似。
• 本文提供的基于唯一游戏猜想的FVS不可近似性证明比以往结果更简洁，其核心依赖于“只要未结束，就仍有可能”定理，而非复杂的半定规划技术。
• 由位顶点与至少 $32\delta$ 比例的测试顶点所诱导的任意子图，必然包含长度至少为 $\delta^2 L$ 的路径，从而将图的结构特性与不可近似性联系起来。
• 在归约中，成本函数强制使得原图中长度为 $k$ 的路径至少对应一个活动的成本为 $1$，从而直接将顶点删除与调度模型中的成本关联起来。