[论文解读] Hardy-Littlewood, Hausdorff-Young-Paley inequalities, and Lp-Lq Fourier multipliers on compact homogeneous manifolds

Rauan Akylzhanov, Ерлан Нурсултанов+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 23被引用 11

一句话总结

本文在紧致齐次流形上建立了非交换的 Hardy-Littlewood、Hausdorff-Young-Paley 以及 Paley 不等式，通过傅里叶系数提供了函数 $L^p$-可积性的精确准则。利用一种新颖的抽象 Marcinkiewicz 插值定理，该定理适用于具有非均匀 Plancherel 测度的离散有序集合，推导出紧致李群上傅里叶乘子的 $L^p$-$L^q$ 有界性条件。

ABSTRACT

In this paper we prove new inequalities describing the relationship between the "size" of a function on a compact homogeneous manifold and the "size" of its Fourier coefficients. These inequalities can be viewed as noncommutative versions of the Hardy-Littlewood inequalities obtained by Hardy and Littlewood on the circle. For the example case of the group SU(2) we show that the obtained Hardy-Littlewood inequalities are sharp, yielding a criterion for a function to be in $L^p$ on SU(2) in terms of its Fourier coefficients. We also establish Paley and Hausdorff-Young-Paley inequalities on general compact homogeneous manifolds. The latter is applied to obtain conditions for the $L^p$-$L^q$ boundedness of Fourier multipliers for $1

研究动机与目标

• 将经典 Hardy-Littlewood 不等式从圆周推广到任意紧致齐次流形 $G/K$。
• 在紧致李群及其齐次空间上建立傅里叶乘子的 $L^p$-$L^q$ 有界性准则。
• 为具有非均匀 Plancherel 测度的离散酉对偶上的矩阵值算子发展一个通用的插值框架。
• 基于傅里叶系数的衰减，提供 $L^p(G/K)$ 成员资格的尖锐准则。
• 利用谱论与表示论工具，将 Hausdorff-Young 与 Paley 不等式推广至非交换、非阿贝尔对称空间。

提出的方法

• 通过在 I 类表示的类 $\widehat{G}_0$ 上定义的 Plancherel 测度 $\mu(Q) = \sum_{\pi \in Q} d_\pi k_\pi$，在 $G/K$ 上推导出一个非交换 Hardy-Littlewood 不等式。
• 以谱参数 $\langle \pi \rangle$、度数 $d_\pi$ 以及 $K$-不变向量在 $\pi$ 中的重数 $k_\pi$ 表达该不等式。
• 将广义的 Marcinkiewicz 插值定理应用于完全有序的离散集合，以处理具有非均匀权 $\nu_\pi$ 的矩阵值序列。
• 使用 Hilbert-Schmidt 范数 $\|\widehat{f}(\pi)\|_{\mathrm{HS}}$，并通过 $\sqrt{k_\pi}$ 归一化，以在酉对偶上定义 $\ell^p$-型范数。
• 通过在弱型 $(p_1,p_1)$ 与 $(p_2,p_2)$ 估计之间插值，建立 Hausdorff-Young-Paley 不等式。
• 将抽象插值结果应用于推导出在紧致齐次流形上，对 $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$，傅里叶乘子的 $L^p$-$L^q$ 有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致齐次流形上，Hardy-Littlewood 不等式的非交换类比是什么？
• RQ2 如何通过傅里叶系数的衰减来刻画 $G/K$ 上函数的 $L^p$-可积性？
• RQ3 在紧致李群上，傅里叶乘子的 $L^p$-$L^q$ 有界性需要满足什么条件？
• RQ4 Marcinkiewicz 插值定理能否被适配到具有任意正权 $\nu_\pi$ 的离散加权酉对偶上的矩阵值算子？
• RQ5 在紧致齐次空间上，Hausdorff-Young-Paley 不等式的尖锐形式是什么？

主要发现

• 在 $G/K$ 上的 Hardy-Littlewood 不等式为 $\sum_{\pi \in \widehat{G}_0} d_\pi k_\pi \langle \pi \rangle^{n(p-2)} \left( \frac{\|\widehat{f}(\pi)\|_{\mathrm{HS}}}{\sqrt{k_\pi}} \right)^p \leq C \|f\|^p_{L^p(G/K)}$，其中 $1 < p \leq 2$，且在 $\mathrm{SU}(2)$ 上达到尖锐常数。
• 当 $G/K = \mathbb{T}$ 时，该不等式退化为 $\mathbb{T}$ 上的经典 Hardy-Littlewood 结果，恢复了带计数测度的 $\ell^p(\mathbb{Z})$-范数估计。
• Hausdorff-Young-Paley 不等式导出在紧致齐次流形上，对 $1 < p \leq 2 \leq q < \infty$，傅里叶乘子的 $L^p$-$L^q$ 有界性。
• 通过相同的插值机制，建立了在紧致李群上一般（非不变）算子的 $L^p$-$L^q$ 有界性。
• 将抽象 Marcinkiewicz 插值定理扩展至具有任意正权 $\nu_\pi$ 的离散集合上的矩阵值序列，从而实现对非均匀 Plancherel 测度的插值。
• 在 $\mathrm{SU}(2)$ 上证明了 Hardy-Littlewood 不等式的尖锐性，为通过傅里叶系数完全刻画 $L^p(\mathrm{SU}(2))$ 函数提供了依据。